设数列满足为实数

（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；

（Ⅱ）设，证明：;

（Ⅲ）设，证明：

设数列满足为实数

（1）证明：对任意成立的充分必要条件是；

（2）设，证明：;

（3）设，证明：

设数列满足且.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，记，证明：.

设数列满足关系式：（p是常数）．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）猜想的通项公式，并证明．

设数列满足：，，．

（Ⅰ）求的通项公式及前项和；

（Ⅱ）已知是等差数列，为前项和，且，.求的通项公式，并证明：．