对于函数y=f(x)及其定义域的子集D,若存在常数M,使得对于任意的x₁∈D,存在唯一的x₂∈D满足等式=M,则称M为f(x)在D上的均值.如果是f(x)在(0，+∞)上的唯一均值，那么函数y=f(x)可以是__________.(只需写出一个可能的情况即可)

对于函数y=f(x)及其定义域的子集D,若存在常数M,使得对于任意的x₁∈D,存在唯一的x₂∈D满足等式=M,则称M为f(x)在D上的均值.如果是f(x)在(0,+∞)上的唯一均值,那么函数y=f(x)可以是__________.(只需写出一个可能的情况即可)

(理)已知函数f(x)=e^x-k-x,其中x∈R.

(1)当k=0时,若g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围;

(2)给出定理:若函数f(x)在［a,b］上连续,且f(a)·f(b)＜0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在x₀∈(a,b),使f(x₀)=0.运用此定理,试判断当k＞1时,函数f(x)在［k,2k］内是否存在零点.

(文)已知数列{a_n}的前n项和为S_n,a₁=2,且na_n+1=S_n+n(n+1)(n∈N^*).

(1)求a_n;

(2)设b_n=,求{b_n}的最大项.

已知函数f（x）=，为常数。

（I）当=1时，求f（x）的单调区间；

（II）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求的取值范围。

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问中，利用当a=1时，f（x）=，则f（x）的定义域是然后求导，，得到由，得0＜x＜1；由，得x＞1；得到单调区间。第二问函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，则或在区间[1，2]上恒成立，即即，或在区间[1，2]上恒成立，解得a的范围。

（1）当a=1时，f（x）=，则f（x）的定义域是

。

由，得0＜x＜1；由，得x＞1；

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，上是减函数。……………6分

（2）。若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，

则或在区间[1，2]上恒成立。∴，或在区间[1，2]上恒成立。即，或在区间[1，2]上恒成立。

又h（x）=在区间[1，2]上是增函数。h（x）_max=（2）=，h（x）_min=h（1）=3

即，或。    ∴，或。

 

函数的定义域为，且满足对于任意，有．

⑴求的值；

⑵判断的奇偶性并证明；

⑶如果≤，且在上是增函数，求的取值范围．

【解析】（Ⅰ） 通过赋值法，，求出f（1）0；

（Ⅱ） 说明函数f（x）的奇偶性，通过令，得．令，得,推出对于任意的x∈R，恒有f（-x）=f（x），f（x）为偶函数．

（Ⅲ） 推出函数的周期，根据函数在[-2，2]的图象以及函数的周期性，即可求满足f(2x-1)≥12的实数x的集合．