Question

(理)已知函数f(x)=e^x-k-x,其中x∈R.

(1)当k=0时,若g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围;

(2)给出定理:若函数f(x)在［a,b］上连续,且f(a)·f(b)＜0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在x₀∈(a,b),使f(x₀)=0.运用此定理,试判断当k＞1时,函数f(x)在［k,2k］内是否存在零点.

(文)已知数列{a_n}的前n项和为S_n,a₁=2,且na_n+1=S_n+n(n+1)(n∈N^*).

(1)求a_n;

(2)设b_n=,求{b_n}的最大项.

Answer 1

解：(理)(1)当k=0时,g(x)=,要使g(x)的定义域为R,则m≠x-e^x在R上恒成立.令h(x)=x-e^x,h′(x)=1-e^x,∴h(x)在(-∞,0)上递增,在[0,+∞)上递减.∴h(x)_max=h(0)=-1.

∴h(x)≤-1.∴m的取值范围为(-1,+∞).

(2)设函数f(x)在R上连续,∴f(x)=e^x-k-x在[k,2k]上连续,而f(2k)=e^k-2k.令g(k)=e^k-2k,∴g′(k)=e^k-2.∵k＞1,g′(k)=e^k-2＞0,∴g(k)在(1,+∞)上递增.由g(1)=e-2＞0,得g(k)＞g(1)＞0,∴f(2k)＞0.又∵f(k)=1-k＜0,∴f(k)·f(2k)＜0.综上所述,可以判断函数f(x)在区间[k,2k]上存在零点.

(文)(1)na_n+1=S_n+n(n+1),∴(n-1)a_n=S_n-1+n(n-1)(n≥2).两式相减,得na_n+1-(n-1)a_n=a_n+2n,即a_n+1-a_n=2(n≥2).当n=1时,a₂=a₁+1×2=4,此时a₂-a₁也符合.∴a_n+1-a_n=2(n∈N^*).故a_n=2+(n-1)·2=2n.

(2)S_n=n(n+1).

∵=,∴当n≥2时,b_n+1≤b_n.

又b₁==1＜b₂==,∴b₁＜b₂=b₃＞b₄＞b₅＞…＞b_n.

∴{b_n}的最大项为第二项或第三项,即a₂=a₃=.