Question

（理）已知函数f(x)=

ln(2-x2)

|x+2|-2

．
（1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；
（2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；
（3）如图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列
{a_n}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．
（文）如图，在平面直角坐标系中，方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．
（1）求证：F＜0；
（2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且

AB

•

AD

=0，求D²+E²-4F的值；
（3）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H．试用平面解析几何的研究方法判
断点O、G、H是否共线，并说明理由．

Answer 1

分析：理科（1）先求出函数的定义域，得到定义域关于原点对称，在检验-x与x的函数值之间的关系，得到奇函数．
（2）根据单调性的定义，设出已知大小关系的任意两个变量，利用定义证明函数的单调性，得到函数是一个增函数．
（3）由程序框图知，公差不为零的等差数列{a_n}要满足条件，则必有f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）=0．所以要构造满足条件的等差数列{a_n}，可利用等差数列的性质，只需等差数列{a_n}满足：a₁+a₁₀=a₂+a₉═a₅+a₆=0．
文科（1）发现A、C两点分别在x轴正负半轴上．设两点坐标分别为A（a，0），C（c，0），则有ac＜0．对于圆方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，当y=0时，可得x²+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有x_Ax_C=ac=F，得到故F＜0．
（2）写出对角线互相垂直的四边形ABCD面积，根据两个向量的数量积等于0，整理出角是一个直角，根据圆的方程写出结果．
（3）设出和写出要用的点的坐标，当y=0时可得x²+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有x_Ax_C=ac=F．同理，当x=0时，可得y²+Ey+F=0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，于是有y_By_D=bd=F．得到结果．

解答：解：（1）由

2-x2＞0 |x+2|-2≠0

得x∈(-

2

，0)∪(0，

2

)，
则f(x)=

ln(2-x2)

x

，任取x∈(-

2

，0)∪(0，

2

)，
都有f（-x）=-

ln(2-x2)

x

=-f（x），则该函数为奇函数．
（2）任取0＜x₁＜x₂＜1，
则有0＜x₁²＜x₂²＜1?2-x₁²＞2-x₂²＞1，?ln（2-x₁²）＞ln（2-x₂²）＞0．
又

1

x1

＞

1

x2

＞1，
所以

ln(2- x 2 1 )

x1

＞

ln(2- x 2 2 )

x2

，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在区间（0，1）上单调递减．
（3）由程序框图知，公差不为零的等差数列{a_n}要满足条件，
则必有f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）=0．
由（1）知函数f（x）是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，
所以要构造满足条件的等差数列{a_n}，可利用等差数列的性质，只需等差数列{a_n}
满足：a₁+a₁₀=a₂+a₉═a₅+a₆=0
且an∈(-

2

，0)∪(0，

2

)即可．
我们可以先确定a₅，a₆使得a₅+a₆=0，因为公差不为零的等差数列{a_n}必是单调的数列，只要它的最大项和最小项在(-

2

，0)∪(0，

2

)中，即可满足要求．
所以只要a₅，a₆
对应的点尽可能的接近原点．如取a₅=-0.1，a₆=0.1，存在满足条件的一个等差数列{a_n}可以是a_n=0.2n-1.1（1≤n≤10，n∈N^*）．
（文科）（1）由题意，不难发现A、C两点分别在x轴正负半轴上．设两点坐标分别为A（a，0），C（c，0），
则有ac＜0．
对于圆方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，
当y=0时，可得x²+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有x_Ax_C=ac=F．
因为ac＜0，故F＜0．
（2）对角线互相垂直的四边形ABCD面积S=

|AC|•|BD|

2

，
因为S=8，|AC|=2，可得|BD|=8．
又因为

AB

•

AD

=0，
所以∠A为直角，而因为四边形是圆M的内接四边形，
故|BD|=2r=8?r=4．
对于方程x²+y²+Dx+Ey+F=0所表示的圆，
可知

D2

4

+

E2

4

-F=r2，
所以D²+E²-4F=4r²=64．
（3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d）．
则可得点G的坐标为(

c

2

，

d

2

)，即

OG

=(

c

2

，

d

2

)．
又

AB

=(-a，b)，且AB⊥OH，故要使G、O、H三点共线，只需证

AB

•

OG

=0即可．
而

AB

•

OG

=

bd-ac

2

，且对于圆M的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，
当y=0时可得x²+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，
于是有x_Ax_C=ac=F．
同理，当x=0时，可得y²+Ey+F=0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，
于是有y_By_D=bd=F．
所以，

AB

•

OG

=

bd-ac

2

=0，即AB⊥OG．
故O、G、H必定三点共线．

点评：本题是一个文理合卷的题目，有两个题目分别考查函数的性质和直线与圆的方程，本题解题的关键是看清题目的实质，抓住解题的主要方法．