Question

（2009•嘉定区一模）（理）已知函数f(x)=log2

2 x

1-x

，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是f（x）图象上两点．
（1）若x₁+x₂=1，求证：y₁+y₂为定值；
（2）设Tn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，其中n∈N*且n≥2，求T_n关于n的解析式；
（3）对（2）中的T_n，设数列{a_n}满足a₁=2，当n≥2时，a_n=4T_n+2，问是否存在角a，使不等式(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)＜

sinα

2n+1

对一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题：y₁=f（x₁），y₂=f（x₂），将f（x₁）和f（x₂）用函数表达式代入，利用对数的运算法则将它们相加，再化简可得y₁+y₂=log₂2=1（定值），问题得证；
（2）根据（1）的结论可得：f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=f(

2

n

)+f(

n-2

n

) =…=f(

n-1

n

)+f(

1

n

) =1，因此可以将T_n按倒序的方法相加的排列，再将此式与原表达式相加，最后配成n-1对数的和，每一对数的和都等于1，因而可得Tn=

n-1

2

；
（3）将不等式的两边都乘以

2n-1

，可得左边等于f(n)=

2n+1

•(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)，在（2）的基础上可得f（n）各项为正数，因此用作商相除的方法探求其单调性．证到

f(n+1)

f(n)

 ＜1，可得f（n+1）＜f（n），所以f（n）随着n的增大而减小．不等式变形为f（1）＜sinα对一切n∈N*恒成立，得到

3

2

＜sinα，因此可得角α的取值范围．

解答：解：（1）当x₁+x₂=1时，y1+y2=f(x1)+f(x2)=log2

2 x1

1-x1

+log2

2 x2

1-x2

=log2[

2 x1

1-x1

•

2 x2

1-x2

]=log2

2x1x2

x2x1

=log22=1，所以y₁+y₂为定值1．…（4分）
（2）由（1）得，f(

k

n

)+f(

n-k

n

)=1（k=1，2，…，n-1），…（6分）
所以，Tn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-2

n

)+f(

n-1

n

)，
又 Tn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

2

n

)+f(

1

n

)，
于是2T_n=（n-1）×1，所以Tn=

n-1

2

（n∈N*，n≥2）．…（10分）
（3）由已知，a_n=2n，n∈N*．…（11分）
由(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)＜

sinα

2n+1

，得

2n+1

•(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)＜sinα，
令f(n)=

2n+1

•(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)，则由题意可得f（n）＞0，
于是

f(n+1)

f(n)

=

2n+3 (1- 1 a1 )(1- 1 a2 )…(1- 1 an )(1- 1 an+1 )

2n+1 (1- 1 a1 )(1- 1 a2 )…(1- 1 an )

=

2n+3 (1- 1 an+1 )

2n+1

=

2n+3 (1- 1 2n+2 )

2n+1

=

(2n+1)(2n+3)

2n+1

•

2n+1

2n+2

=

4n 2+8n+3 4n 2+8n+4

＜1
所以f（n+1）＜f（n），即f（n）随着n的增大而减小．…（15分）
所以当n∈N*时，f（n）的最大值为f(1)=

3

2

，
若存在角α满足要求，则必须sinα＞

3

2

．…（16分）
所以角α的取值范围为(2kπ+

π

3

 ， 2kπ+

2π

3

)，（k∈Z）…（18分）

点评：本题是一道综合题，解题的过程中用到了倒序相加法求和、用作商的方法证明数列的单调性和证明不等式恒成立等等知识点，属于难题．本题对函数与数列的一些高级处理有比较高的要求，考查的知识点与方法较多，综合性较强．