已知m∈R，对p：x₁和x₂是方程x²－ax－2＝0的两个根，不等式|m－5|≤|x₁－x₂|对任意实数a∈[1,2]恒成立；q：函数f(x)＝3x²＋2mx＋m＋有两个不同的零点.求使“p且q”为假命题、“p或q”为真命题的实数m的取值范围．

设x是一个自然数．若一串自然数x₀＝1，x₁，x₂，…，x_t－1，x_t＝x，满足x_i－1＜x_i，x_i－1|x_i，i＝1，2，…，t．则称{x₀，x₁，x₂，…x_t}为x的一条因子链，t为该因子链的长度．T(x)与R(x)分别表示x的最长因子链的长度和最长因子链的条数．对于x＝5^k×31^m×1990ⁿ(k，m，n是自然数)试求T(x)与R(x)．

已知，设和是方程的两个根，不等式对任意实数恒成立；函数有两个不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数的取值范围.

【解析】本试题主要考查了命题和函数零点的运用。由题设x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

当a∈[1,2]时，的最小值为3. 当a∈[1,2]时，的最小值为3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判别式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

可得到要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真即可。

解：由题设x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

当a∈[1,2]时，的最小值为3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判别式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即

解得实数m的取值范围是(4,8]

（2）如果两组数x₁,x₂,…,x_n和y₁,y₂,…,y_n的样本平均数分别是x和y,那么一组数x₁+y₁,x₂+y₂,…,x_n+y_n的平均数是___________．

活动：学生思考或交流,教师提示,根据平均数的定义得到结论.

若定义在[-2012，2012]上的函数f(x)满足：对任意x₁，x₂∈[-2012，2012]有f(x₁+x₂)＝f(x₁)+f(x₂)-2011，且x＞0时有f(x)＞2011，f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则M+N＝

1. A.
   2011
2. B.
   2012
3. C.
   4024
4. D.
   4022