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    在如图所示的四面体ABCD中.AB.BC.CD两两互相垂直.且BC = CD = 1． (1)求证:平面ACD⊥平面ABC, (2)求二面角C-AB-D的大小, (3)若直线BD与平面ACD所成的角为.求的取值范围． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，。
    （1）求证：平面平面；

    （2）若，求二面角的大小。

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    本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，。

    （1）求证：平面平面；

    （2）若，求二面角的大小。

     

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    本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，。
    （1）求证：平面平面；

    （2）若，求二面角的大小。

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    （本小题满分12分）如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.

    （1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

    （2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；

    （3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°.

     

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    (本小题满分12分) 已知一个四棱锥的三视图如图所示，其中，且,分别为、、的中点

    （1）求证：PB//平面EFG

    （2）求直线PA与平面EFG所成角的大小

    （3）在直线CD上是否存在一点Q，使二面角的大小为？若存在，求出CQ的长；若不存在，请说明理由。

     

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    一．选择题：DCBBA  DACCA

    二．填空题：11．4x－3y－17 = 0　　12．33　　13．
    　　　　　　14．　　15．

    三．解答题：

    16．(1)解：∵，                                  2分
    ∴由得：，即              4分
    又∵，∴                                                                                    6分

    (2)解：                                    8分
    由得：，即          10分
    两边平方得：，∴                                          12分

    17．方法一

    (1)证：∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC                                                      2分
    又∵CDÌ平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC　　 4分

    (2)解：∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
    ∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角          6分
    ∵在Rt△BCD中，BC = CD，∴∠CBD = 45°
    即二面角C－AB－D的大小为45°              8分

    (3)解：过点B作BH⊥AC，垂足为H，连结DH
    ∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，
    ∴∠BDH为BD与平面ACD所成的角           10分
    设AB = a，在Rt△BHD中，，
    ∴
    又，∴                                                                                        12分

    方法二
    (1)同方法一                                                                                                               4分
    (2)解：设以过B点且∥CD的向量为x轴，为y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB = a，则A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)， = (1，1，0)， = (0，0，a)
    平面ABC的法向量 = (1，0，0)
    设平面ABD的一个法向量为n = (x，y，z)，则

    取n = (1，－1，0)                           6分

    ∴二面角C－AB－D的大小为45°                                                                           8分

    (3)解： = (0，1，－a)， = (1，0，0)， = (1，1，0)
    设平面ACD的一个法向量是m = (x，y，z)，则
    ∴可取m = (0，a，1)，设直线BD与平面ACD所成角为，则向量、m的夹角为
    故                                                                        10分
    即
    又，∴                                                                                        12分

    18．解：该商场应在箱中至少放入x个其它颜色的球，获得奖金数为，
    则= 0，100，150，200
    ，，
    ，                        8分
    ∴的分布列为

    0

    100

    150

    200

    P

     

    19．(1)解：设M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，
    ∴
    即                        2分
    因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a = 2，c = 1
    ∴曲线C的方程为．                                                                                4分

    (2)解法一：设直线PQ方程为 (∈R)
    由 得：                                                            6分
    显然，方程①的，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有

                                                               8分
    令，则t≥3，                                                             10分
    由于函数在[3，＋∞)上是增函数，∴
    故，即S≤3
    ∴△APQ的最大值为3                                                                                              12分

    解法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
    当直线PQ的斜率不存在时，易知S = 3
    设直线PQ方程为
    由  得：  ①                                         6分
    显然，方程①的△＞0，则
    ∴                                    8分
                                    10分
    　　　　
    令，则，即S＜3

    ∴△APQ的最大值为3                                                                                              12分

    20．(1)解：∵，
    ∴                                                                         2分
    当时，
    ∵当时，，此时函数递减；
    当时，，此时函数递增；
    ∴当时，F(x)取极小值，其极小值为0．                                                          4分

    (2)解：由(1)可知函数和的图象在处有公共点，
    因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．
    设隔离直线的斜率为k，则直线方程为，即              6分
    由，可得当时恒成立
    由得：                                                                              8分
    下面证明当时恒成立．
    令，
    则，                                                                           10分
    当时，．
    ∵当时，，此时函数递增；
    当时，，此时函数递减；
    ∴当时，取极大值，其极大值为0．                                                        12分
    从而，即恒成立．
    ∴函数和存在唯一的隔离直线．                                              13分

    21．(1)解：记
    令x = 1得：
    令x =－1得：
    两式相减得：
    ∴                                                                                                        2分
    当n≥2时，
    当n = 1时，，适合上式
    ∴                                                                                                 4分

    (2)解：
    注意到                               6分
    令，
    则
    ∴
    故，即                                             8分

    (3)解：
    　　　 (n≥2)                                                                        10分
    ∴
    　        12分
    ∵
    ∴                                                       14分

     

     

     


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