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    21．(本题满分14分.共3小题.任选其中2题作答.每小题7分) (1) 选修4-2:矩阵与变换 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分12分）

    某校从高二年级第一学期期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数，满分为100分），将数学成绩进行分组并根据各组人数制成如下频率分布表：

    分 组

    频 数

    频 率

    [ 40, 50 )

    2

    0.04

    [ 50, 60 )

    3

    0.06

    [ 60, 70 )

    14

    0.28

    [ 70, 80 )

    15

    0.30

    [ 80, 90 )

    [ 90, 100 ]

    5

    0.1

    合 计

    （Ⅰ）求的值，并估计本次考试全校80分以上学生的百分比；

    （Ⅱ）为了帮助成绩差的同学提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩为中任选出两位同学，共同帮助成绩在中的某一个同学，试列出所有基本事件；若同学成绩为43分，同学成绩为95分，求、两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率．

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    （本小题满分12分）
    某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有四个问题，规则如下：
    每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
    每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
    每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.
    假设甲同学对问题回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
    (Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；
    （Ⅱ）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学的.

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    本题共有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则以所做的前2题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
    （1）选修4-2：矩阵与变换
    变换T1是逆时针旋转90°的旋转变换，对应的变换矩阵为M1，变换T2对应的变换矩阵是；
    （I）求点P（2，1）在T1作用下的点Q的坐标；
    （II）求函数y=x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得的曲线方程．
    （2）选修4-4：极坐标系与参数方程
    从极点O作一直线与直线l：ρcosθ=4相交于M，在OM上取一点P，使得OM•OP=12．
    （Ⅰ）求动点P的极坐标方程；
    （Ⅱ）设R为l上的任意一点，试求RP的最小值．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    已知f（x）=|6x+a|．
    （Ⅰ）若不等式f（x）≥4的解集为，求实数a的值；
    （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x-1）＞b对一切实数x恒成立，求实数b的取值范围．

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    （本小题满分12分）

          某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：

    每位参加者记分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；

    每回答一题，记分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；

    每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束。

    假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响。

    （Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；

    （Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Εξ。

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    （本小题满分12分）

          某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：

    每位参加者记分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；

    每回答一题，记分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；

    每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束。

    假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响。

    （Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；

    （Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Εξ。

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    一、选择题

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    答案

    A

    D

    A

    A

    A

    A

    B

    B

    A

    D

    二、填空题

    11. 8 + ； 12. 60；  13.；    14.  14；   15. .

    三、解答题

    16. 解：（1）依题意的,所以,于是       ……………2分

    由解得                                             ……………4分

    把代入,可得,所以,

    所以,因为,所以 综上所述，   …………7分

    （2）令，得，又  

    故 函数的零点是                   ……………10分

     由得

    函数的单调递增区间是                                ……………13分

    17. 解：（1）当为中点时,有平面        ………2分

    证明:连结交于,连结∵四边形是矩形  ∴为中点

    又为中点,从而  ……………………………4分

    ∵平面,平面∴平面……………6分

    （2）建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,  ……7分

    所以,.   ……………………………8分

    设为平面的法向量,则有,即令,可得平面的一个法向量为,

    而平面的一个法向量为                                       ……………11分

    所以所以二面角的余弦值为……………13分

    18. 解:

    19．解：

    （1）依题意双曲线方程可化为则=4

    点P的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程可设为

    由得

    则所求椭圆方程为，

    故动点P的轨迹E的方程为；………………3分

    （2）设,则由，可知

    在中

    又即

    当且仅当时等号成立．故的最小值为………………6分

    （3）当与轴重合时，构不成角AMB，不合题意．

    当轴时，直线的方程为，代入解得、的坐标分别为、   而，∴，猜测为定值．………8分

    证明：设直线的方程为，由  ，得

    ∴ ， ………10分

    ∴

             

             

    ∴ 为定值。(AB与点M不重合)  ……13分

    20．解：

    （1）当时,由得；当时由得

    综上：当时函数的定义域为； 当时函数的定义域为………3分

    （2）………5分

    令时，得即，

    ①当时，时，当时，，

    故当 时，函数的递增区间为，递减区间为

    ②当时，，所以，

    故当时，在上单调递增．

    ③当时，若，;若，，

    故当时，的单调递增区间为;单调递减区间为．

    综上：当时，的单调递增区间为;单调递减区间为

    当时，的单调递增区间为;

    当时，的单调递增区间为;单调递减区间为;   …10分

    （Ⅲ）因为当时，函数的递增区间为;单调递减区间为

    若存在使得成立，只须，

    即    ………14分

     

     

     

     

     

     

    21．（本题满分14分，共3小题，任选其中2题作答，每小题7分）

     (1)选修4－2：矩阵与变换

    解：由 M=  N= 可得

    的特征多项式为

    令得矩阵的特征值为

    再分别求得对应于特征值的特征向量…………7分

    (2) 选修4－5：不等式选讲

    （1）解：依题意可知 ，

    则函数的图像如图所示：

     

    （2）由函数的图像容易求得原不等式的解集为…………7分

     

    (3) 选修4－4：坐标系与参数方程

    解：由 即则易得由易得

    圆心到直线的距离为

    又圆的半径为2 , 圆上的点到直线的距离的最小值为…………7分

     

     

     


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