题目列表(包括答案和解析)
已知四棱锥
的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.
是侧棱
上的动点．
(1)求证：
；
(2)若为的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3) 若四点
在同一球面上，求该球的体积.
已知四棱锥
的三视图如下图所示，则四棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
已知四棱锥
的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.
是侧棱
上的动点．
(1)求证：
；
(2)若为的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3) 若四点
在同一球面上，求该球的体积.
已知四棱锥
的三视图如下图所示，
是侧棱
上的动点.
(1) 求四棱锥的体积；
(2) 是否不论点在何位置，都有
？证明你的结论；
(3) 若点为的中点，求二面角
的大小.
已知四棱锥
的三视图如下图所示，则四棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
一、选择题
1．A 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．C 9．A 10.A
11．D 12．D
二、填空题
13． 10
14．
15． 4 16．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）
的内角和
，由
得
．
应用正弦定理，知
，
．
因为
，
所以
，
（Ⅱ）因为
，
所以，当
，即
时，
取得最大值
．
18．解：（Ⅰ）总体平均数为
．
（Ⅱ）设
表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．共15个基本结果．
事件包括的基本结果有：，，，，，，．共有7个基本结果．
所以所求的概率为
．
19．解：(Ⅰ) 由三视图可知，四棱锥
的底面是边长为1的正方形，
侧棱
底面
，且
.
∴
，
即四棱锥的体积为
.
(Ⅱ) 连结
、
，
∵是正方形，
∴
是
的中点，且
是
的中点
∴
∴
(Ⅲ)不论点在何位置，都有
.
证明如下：∵是正方形，∴
.
∵底面，且
平面，∴
.
又∵
，∴
平面
.
∵不论点在何位置，都有
平面.
∴不论点在何位置，都有.
20．解：（Ⅰ）
，
，
，又
，
，
数列
是以为
首项，为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，即
，
．
设
…
， ①
则
…
，②
由①
②得
…
，
．又
…
．
数列
的前
项和 
．
21．解：（Ⅰ）
．
因为
是函数
的极值点，所以
，即
，因此
．
经验证，当时，是函数的极值点．
（Ⅱ）由题设，
．
当
在区间
上的最大值为
时，
，
即
．
故得
．
反之，当时，对任意
，
，
而
，故在区间上的最大值为．
综上，
的取值范围为
．
22．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为
，依题意
，所求椭圆方程为
．
（Ⅱ）设
，
．
（1）当
轴时，
．
（2）当
与
轴不垂直时，
设直线的方程为
．
由已知
，得
．
把代入椭圆方程，整理得
，
，
．
．
当且仅当
，即
时等号成立．当
时，，
综上所述
．
当
最大时，
面积取最大值
．
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