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已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-

3

，0)，而且过点H(

3

，

1

2

)．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A₁，A₂，P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点，直线PA₁，PA₂分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

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1．B       2．A      3．C       4．B       5．A      6．B       7．D      8．C       9．C       1 0．B

11．B     12．D

【解析】

1．．

2．．

3．是方程的根，或8，又，

       ．

4．．

5．画出可行域，如图，可看为区域内的点与（0，0）连线的斜率，．

       ．

6．       

7．连，设      平面．

       是与平面所成的角．        ，

       ．

8．据的图象知          的解集为．

9．由知点的轨迹是以，为焦点的双曲线一支．，．

10．将命中连在一起的3枪看作一个整体和另外一枪命中的插入没有命中的4枪留下的5个空档，故有种．

11．设，圆为最长弦为直径，最短弦的中点为，

12．几何体的表面积是三个圆心角为、半径为1的扇形面积与半径为1的球面积的之和，即表面积为．

二、

13．    平方得

       ．

14．55        

       ．

15．1     与互为反函数，

       ，

       ．

16．或              ，设

或．

三、解答题

17．（1）的最大值为2，的图象经过点

，，，

．

（2），

．

18．（1）∵当时，总成等差数列，

              即，所以对时，此式也成立

              ，又，两式相减，

              得，

              成等比数列，．

       （2）由（1）得

              ．

19．（1）由题意知，袋中黑球的个数为

              记“从袋中任意摸出2个球，得到的都是黑球”为事件，则．

       （2）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球”为事件，设袋中白球的个数为，则．或（含）．．∴袋中白球的个数为5．

20．（1）证明：．

连接．

，又

              即        平面．

（2）方法1   取的中点，的中点，为的中点，或其补角是与所成的角，连接是斜边上的中线，，

       ．

              在中，由余弦定理得，

           ∴直线与所成的角为．

（方法2）如图建立空间直角坐标系．

       则
             

       ．

       ．

    ∴直线与所成的角为．

（3）（方法l）

       平面，过作于，由三垂线定理得．

              是二面角的平面角，

              ，又．

在中，，．

∴二面角为．

（方法2）

在上面的坐标系中，平面的法向量．

设平面的法向量，则，

解得

，．

∴二面角为．

21．（1）

的最小值为，，又直线的斜率为．

，故．

       （2），当变化时，、的变化情况如下表：

0

0

ㄊ

极大

ㄋ

极小

ㄊ

           ∴函数的单调递增区间是和

              ，

           ∴当时，取得最小值，

              当时，取得最大值18．

21．（1）设．

由抛物线定义，， ．

在上，，又

         或舍去．

∴椭圆的方程为．

       （2）① 直线的方程为

              为菱形，，设直线的方程为

              由，得

、在椭圆上，解得，设，则，的中点坐标为．

由为菱形可知，点在直线上，

．

∴直线的方程为即．

② ∵为菱形，且，

，∴菱形的面积

．

∴当时，菱形的面积取得最大值