在直角坐标系xOy中，点M到点F₁(-

3

，0)、F₂(

3

，0)的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：y=kx+

2

与轨迹C交于不同的两点P和Q．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）是否存在常数k，使以线段PQ为直径的圆过原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

直线l：y=ax+1与双曲线C：3x²-y²=1相交于A，B两点．
（1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点；
（2）是否存在这样的实数a，使A，B关于直线x-2y=0对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．

在直角坐标系xoy中，已知三点A（-1，0），B（1，0），C（-1，

3

2

）；以A、B为焦点的椭圆经过C点，
（1）求椭圆方程；
（2）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l，与椭圆交于不同的两点M、N，使（

PM

+

PN

）•

MN

=0？
若存在．求出直线l斜率的取值范围；
（3）对于y轴上的点P（0，n）（n≠0），存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使（

PM

+

PN

）•

MN

=0，试求实数n的取值范围．

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B．
（I）求实数k的取值范围；
（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

在直角坐标坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足．
（1）求线段PP′中点M的轨迹C的方程．
（2）过点Q（一2，0）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点（-

4

17

，0），且以言

a

=(0，1)为方向向量的直线上一动点，满足

ON

=

OA

+

OB

（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线Z的方程；若不存在，说明理由．