已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

（Ⅰ）求实数的值； 

（Ⅱ）求在区间上的最大值；

（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

【解析】第一问当时，，则。

依题意得：，即    解得

第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设，则，显然

∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

（Ⅰ）当时，，则。

依题意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①当时，，令得

当变化时，的变化情况如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

又，，。∴在上的最大值为2.

②当时, .当时, ,最大值为0；

当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

当时，即时，在区间上的最大值为。

（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设，则，显然

∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

若，则代入（*）式得：

即，而此方程无解，因此。此时，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，则

∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

 

设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx

&(k∈R)

，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当a₁∈（a，b）时，数列{a_n}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）已知，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N^*，都有log3(

1

1 2 -a1

)+log3(

1

1 2 -a2

)+…+log3(

1

1 2 -an

)＞(-1)n-12λ+nlog32-1-1+（-1）^n-12λ+nlog₃2恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．

设二次函数f（x）=（k-4）x²+kx（k∈R），对任意实数x，f（x）≤6x+2恒成立；数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当a₁∈（a，b）时，数列{a_n}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）已知，求：log3(

1

1 2 -a1

)+log3(

1

1 2 -a2

)+…+log3(

1

1 2 -an

)．

设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.

（1）求函数的解析式和值域；

（2）证明：当时，数列在该区间上是递增数列；

（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有

 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.