题目列表(包括答案和解析)
（09年湖南师大附中月考文）(13分)
已知点
在椭圆
：
上，
、
分别为椭圆的左、右焦点，满足
，
．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的长轴长为6，过点
且不与
轴垂直的直线
与椭圆相交于两个不同点
、
，且
（
，且
）。在轴上是否存在定点
，使得
．若存在，求出所有满足这种条件的点的坐标；若不存在，说明理由．（本小题满分16分）
已知椭圆
：
的离心率为
，直线
：
与椭圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点为
，右焦点为
，直线
过点且垂直与椭圆的长轴，动直线
垂直于直线于点
，线段
的垂直平分线交于点
，求点的轨迹
的方程；
（3）若
，
，
是上不同的点，且
，求实数
的取值范围．
椭圆
的长轴长为4，焦距为2，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，直线
过点
且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于点
，线段
垂直平分线交于点
（1）求椭圆
的标准方程和动点的轨迹
的方程。
（2）过椭圆的右焦点
作斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求
的面积。
（3）设轨迹与
轴交于点
，不同的两点
在轨迹上，
满足
求证：直线
恒过轴上的定点。
如图，已知椭圆
与
的中心在坐标原点
，长轴均为
且在
轴上，短轴长分别为
，
，过原点且不与轴重合的直线
与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为
，
，
，
。记
，
和
的面积分别为
和
。
（I）当直线与
轴重合时，若
，求
的值；
（II）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由。
（本小题满分16分）已知椭圆
：
的离心率为
，直线
：
与椭圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点为
，右焦点为
，直线
过点且垂直与椭圆的长轴，动直线
垂直于直线于点
，线段
的垂直平分线交于点
，求点的轨迹
的方程.
1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A
9．
10．
25 11．
12．
或
者 13．21 14．3 15．
16．解：（1）
……………………………………………(3分)
∴
值域为
…………………………………………………………………(6分)
（不同变形参照给分）
（2）因为的周期为
∴
………………………………………………………………(8分)
∴
∴在
、
上单调递增，
在
上单调递减。…………………………………………………(12分)
17．解：按一、二、三等奖的顺序，获奖人数有三种情况：
，
，
…………………………………………………………(1分)
当获奖人数为时，发奖方式有：
（种）…………………(3分)
当获奖人数为时，发奖方式有：
（种）…………………(5分)
当获奖人数为时，发奖方式有：
（种）…………………(7分)
(1)故恰有2人获一等奖的概率为
……………………(9分)
(2)故恰有3人获三等奖的概率为
……………………(11分)
答：(略)………………………………………………………………………(12分)
18．解：(1)证明：依题意知
，又∵平面
平面
，∴
平面
又
平面
，∴平面平面．……………………………(4分)
（2）解：∵
，………………………………………(6分)
设P、M到底面的距离分别为
、
，则
∴
，∴
为
中点。……………………………………………………(8分)
（3）∵
，
平面，
平面，∴
平面
…………………………………………………(10分)
若
平面，∵
，∴平面
平面
这与平面
与平面有公共点
矛盾
∴
与平面不平行……………………………………………………(12分)
(本题也可以用向量法解答)
19．解：（1）由
，得
，
两式相减，得
，……………………………………………(3分)
所以数列
，
，
，…，
，…是以
为首项，3为公差的等差数列，
即数列
为等差数列； ……………………………………………(5分)
又因为
，
，
∴
∴数列
，
，
，…，
，…是以
为首项，3为公差的等差数列，
即数列
为等差数列． ……………………………………………………(7分)
（2）
……………………………………………………(10分)
∴
，∴
，
，
∵数列
是等差数列，∴
，
∴
，
解得：
，
（舍去）．……………………………………………(13分)
20．解（1）令
，
．
由题意得：
又
，所以
，
所以
…………………………………(4分)
（2）∵
，∴
，于是
，
∴
，
∴椭圆E的方程为
…………………………………………………(5分)
从而
，
设点M、N、G的坐标依次为
、
、
，
∵
，∴
，
∴
………………………………………………………………(7分)．
又
，
且
，
∴
即得
． ………………………………………………(9分)
又
，
故得
．……………………………………………(*)(10分)
因
不垂直于
轴，设直线的方程为
，与椭圆
：联立得：
∵点
在椭圆内部，
∴直线必与椭圆有两个不同交点．
方程有两个不等实数根
，
则由根与系数的关系，得
，
，
代入（*）得
整理，得
，即
∴存在这样的定点满足题设．…………………………………………(13分)
21．解：（1）∵
，
∴
，即
。又
，
∴
即为
，
∴
∵
，∴
．
解得
，
又∵方程
，（）有两根，∴
而
恒成立，
∴
的取值范围是
．………………………………………………(6分)
（2）∵、是方程
的两根即
的两根为、
∴
，
∴
∵，∴当且仅当
，即
时，
取最小值．
即时，
最小． ………………………………………………(10分)
此时
，
，
令，得
，
，
∵
，∴、、
的变化情况如下表
ㄊ
极大 值
ㄋ
极小值
ㄊ
∴由表知：的极大值为
，极小值为
，由题知
。
解得
，此时
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