如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D全等，且所在平面所成的二面角为a，记两个矩形对角线的交点分别为Q，Q′，AB=a，AD=b．
（1）求证：QQ′∥平面ABB′；
（2）当b=

2

a，且a=

π

3

时，求异面直线AC与DB′所成的角；
（3）当a＞b，且AC⊥DB'时，求二面角a的余弦值（用a，b表示）．

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某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图．（ 例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为

1

10

，路段CD发生堵车事件的概率为

1

15

）．
（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
（2）若记ξ路线A→（3）C→（4）F→（5）B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Eξ．

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一、选择题：  B C A D B       C A B D C

二、填空题：

  11、       12、      13、  

14、      15、②③

三、解答题：

16．解：(1)    ……………………………1分

=

==      …………………………………………4分 

∵θ∈［π，2π］，∴，

∴≤1      则 _max=2． ………………………………………………6分                                             

(2)  由已知,得     …………………………………8分            

又   _∴      ……………………10分  

∵θ∈［π，2π］∴，∴． …………………12分

17．解：依题意知：.……4分

   （1）对于

且是奇函数……………………………………….……6分

   （2） 当时，单调递减，

当时，单调递增………………………………………….…8分

……….…………..…10分

又………….……12分

18．解：（1）当

                    ………………2分

，..............................................5分

故        ................6分

定义域为     .................................7分

   （2）对于，             

显然当（元），    ..................................9分

∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多。..........12分

19．解：（1）由题意               …………………………2分

当时，取得极值，  所以

                即      …………………4分

           此时当时，，当时，，

             是函数的最小值。          ………………………6分

       （2）设，则  ，……8分

            设，

            ，令解得或

       列表如下：

__

0

+

函数在和上是增函数，在上是减函数。

当时，有极大值；当时，有极小值……10分

函数与的图象有两个公共点，函数与的图象有两个公共点

     或             ……12分

20．解：（1），

．令，则．…………2分

，当时，，则．数列不是等比数列． 

当时，数列不是等比数列．………………… 5分

当时，，则数列是等比数列，且公比为2． 

，即．解得．……7分

（2）由（Ⅰ）知，当时，， 

．

令，   ………………………①

则， …………②

由①-②：

               ，

，    ………………………………..………11分

则．      …………………..………13分

21．解：（1）∵成等比数列　∴　 设是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得

即为所求的椭圆方程.         ……………………5分     

（2）假设存在，因与直线相交，不可能垂直轴   …………………6分

 因此可设的方程为：由

　 ①     ……………………8分

方程①有两个不等的实数根

∴　②        ………10分

设两个交点、的坐标分别为　∴

∵线段恰被直线平分　∴

∵　∴ ③　把③代入②得

∵　 ∴　∴解得或    ………13分

∴直线的倾斜角范围为                 …………………14分