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（09年海淀区二模理）（13分）

检测部门决定对某市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A、B、C三级. 每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都是B级，则该教室的空气质量不合格. 设各教室的空气质量相互独立，且每次检测的结果也相互独立. 根据多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A、B、C三级的频率依次为.  

（Ⅰ）在该市的教室中任取一间，估计该间教室的空气质量合格的概率；

（Ⅱ）如果对该市某中学的4间教室进行检测，记在上午检测空气质量为A级的教室间数为，并以空气质量为A级的频率作为空气质量为A级的概率，求的分布列及期望

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检测部门决定对某市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A、B、C三级．每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都是B级，则该教室的空气质量不合格．设各教室的空气质量相互独立，且每次检测的结果也相互独立．根据多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A、B、C三级的频率依次为．
（Ⅰ）在该市的教室中任取一间，估计该间教室的空气质量合格的概率；
（Ⅱ）如果对该市某中学的4间教室进行检测，记在上午检测空气质量为A级的教室间数为ξ，并以空气质量为A级的频率作为空气质量为A级的概率，求ξ的分布列及期望．

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检测部门决定对某市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A、B、C三级．每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都是B级，则该教室的空气质量不合格．设各教室的空气质量相互独立，且每次检测的结果也相互独立．根据多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A、B、C三级的频率依次为．
（Ⅰ）在该市的教室中任取一间，估计该间教室的空气质量合格的概率；
（Ⅱ）如果对该市某中学的4间教室进行检测，记在上午检测空气质量为A级的教室间数为ξ，并以空气质量为A级的频率作为空气质量为A级的概率，求ξ的分布列及期望．

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一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

ACDDB CDC

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）

（9）62        （10）2        （11）         （12）2，

（13）    （14），③④

三、解答题（本大题共6小题,共80分）

(15)（本小题共13分）

解：（Ⅰ）∵（），

∴（）.            ………………………1分

∵，，成等差数列，

∴.                              …………………………3分

∴.                                ………………………………………5分

∴.                                        ………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

（）.

∴数列为首项是，公差为1的等差数列.      ………………………8分

∴.

∴.                             ……………………………………10分

当时，.    ………………………12分

当时，上式也成立.                             ……………………13分

∴（）.

（16）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）该间教室两次检测中，空气质量均为A级的概率为.……………2分

该间教室两次检测中，空气质量一次为A级，另一次为B级的概率为.

…………………………4分

设“该间教室的空气质量合格”为事件E.则     …………………………………5分

.                 …………………………………6分

答：估计该间教室的空气质量合格的概率为.

（Ⅱ）由题意可知，的取值为0，1，2，3，4.           ………………7分

.

随机变量的分布列为：

0

1

2

3

4

                                           ……………………………12分

解法一：

∴.    ………………13分

解法二：，

∴.                                   ………………13分

（17）（本小题共14分）

（Ⅰ）证明：设的中点为.

在斜三棱柱中，点在底面上的射影恰好是的中点,

     平面ABC.         ……………………1分

平面，

.               ……………………2分

，

∴.

，

∴平面.       ……………………4分

平面，

    平面平面.        …………………………5分

解法一：（Ⅱ）连接，平面，

是直线在平面上的射影.      …………………………5分

，

平行四边形是菱形.

.                   ………………………………………7分

.                    ……………………………………9分

（Ⅲ）过点作交于点，连接.

，

平面.

.

是二面角的平面角.               ………………………………………11分

设，则，

.

.

.

.

平面，平面，

.

.

在中，可求.

∵，∴.

∴.

.     ……………………………………13分

.

∴二面角的大小为.       …………………………14分

解法二：（Ⅱ）因为点在底面上的射影是的中点，设的中点为，则垂直平面ABC.以为原点，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，由题意可知，.

设，由，得……………………………7分

.

  又.

.

.                         ………………………………………9分

（Ⅲ）设平面的法向量为.

则

∴

.

设平面的法向量为.则

∴

.             ……………………………………12分

.          …………………………………13分

二面角的大小为.           ………………………………………14分

（18）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）函数的定义域为．    ………………………………1分

.       …………………………3分

由，解得.

由，解得且．

∴的单调递增区间为，单调递减区间为，．

………………………………………6分

（Ⅱ）由题意可知，，且在上的最小值小于等于时，存在实数，使得不等式成立．                             ………………………………………7分

若即时，

x

a+1