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已知椭圆的两个焦点为F₁（-c，0）、F₂（c，0），c²是a²与b²的等差中项，其中a、b、c都是正数，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A作直线交椭圆于另一点M，求|AM|长度的最大值；
（3）已知定点E（-1，0），直线y=kx+t与椭圆交于C、D相异两点．证明：对任意的t＞0，都存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．

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已知F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为

1

2

，点B在x轴上，AB⊥AF，A、B、F三点确定的圆C恰好与直线x+

3

y+3=0相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设O为椭圆的中心，过F点作直线交椭圆于M、N两点，在椭圆上是否存在点T，使得

OM

+

ON

+

OT

=

0

，如果存在，则求点T的坐标；如果不存在，请说明理由．

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一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

ACDDB CDC

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）

（9）62        （10）2        （11）         （12）2，

（13）    （14），③④

三、解答题（本大题共6小题,共80分）

(15)（本小题共13分）

解：（Ⅰ）∵（），

∴（）.            ………………………1分

∵，，成等差数列，

∴.                              …………………………3分

∴.                                ………………………………………5分

∴.                                        ………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

（）.

∴数列为首项是，公差为1的等差数列.      ………………………8分

∴.

∴.                             ……………………………………10分

当时，.    ………………………12分

当时，上式也成立.                             ……………………13分

∴（）.

（16）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）该间教室两次检测中，空气质量均为A级的概率为.……………2分

该间教室两次检测中，空气质量一次为A级，另一次为B级的概率为.

…………………………4分

设“该间教室的空气质量合格”为事件E.则     …………………………………5分

.                 …………………………………6分

答：估计该间教室的空气质量合格的概率为.

（Ⅱ）由题意可知，的取值为0，1，2，3，4.           ………………7分

.

随机变量的分布列为：

0

1

2

3

4

                                           ……………………………12分

解法一：

∴.    ………………13分

解法二：，

∴.                                   ………………13分

（17）（本小题共14分）

（Ⅰ）证明：设的中点为.

在斜三棱柱中，点在底面上的射影恰好是的中点,

     平面ABC.         ……………………1分

平面，

.               ……………………2分

，

∴.

，

∴平面.       ……………………4分

平面，

    平面平面.        …………………………5分

解法一：（Ⅱ）连接，平面，

是直线在平面上的射影.      …………………………5分

，

平行四边形是菱形.

.                   ………………………………………7分

.                    ……………………………………9分

（Ⅲ）过点作交于点，连接.

，

平面.

.

是二面角的平面角.               ………………………………………11分

设，则，

.

.

.

.

平面，平面，

.

.

在中，可求.

∵，∴.

∴.

.     ……………………………………13分

.

∴二面角的大小为.       …………………………14分

解法二：（Ⅱ）因为点在底面上的射影是的中点，设的中点为，则垂直平面ABC.以为原点，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，由题意可知，.

设，由，得……………………………7分

.

  又.

.

.                         ………………………………………9分

（Ⅲ）设平面的法向量为.

则

∴

.

设平面的法向量为.则

∴

.             ……………………………………12分

.          …………………………………13分

二面角的大小为.           ………………………………………14分

（18）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）函数的定义域为．    ………………………………1分

.       …………………………3分

由，解得.

由，解得且．

∴的单调递增区间为，单调递减区间为，．

………………………………………6分

（Ⅱ）由题意可知，，且在上的最小值小于等于时，存在实数，使得不等式成立．                             ………………………………………7分

若即时，

x

a+1