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    (Ⅱ)若..求证数列是等比数列.并求数列的前项和． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知数列中，

    （Ⅰ）求证：是等比数列，并求的通项公式；

    （Ⅱ）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围。

     

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    数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．
    （1）求证{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；
    （2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn．

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    己知数列{an}满足：a1=1，an+1=
    1
    2
    an+n，n为奇数
    an-2n，n为偶数

    （1）求a2，a3；
    （2）设bn=a2n-2，n∈N*，求证{bn} 是等比数列，并求其通项公式；
    （3）在（2）条件下，求数列{an} 前100项中的所有偶数项的和S．

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    设数列{an}是公差为d的等差数列，a3+a5=2，S20=150，又bn=2an-2an+1(n∈N*)
    （1）求a1，d；
    （2）求证{bn}是等比数列，并求bn的通项公式；
    （3）设k为某自然数，且满足
    lim
    n→∞
    (bkbk+1+bk+1bk+2+…+bnbn+1)=
    1
    96
    ，求k的值．

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    已知数列{an}满足：a1=1，an+1=
    1
    2
    an+n，n为奇数
    an-2n，n为偶数

    （1）求a2、a3、a4、a5；
    （2）设bn=a2n-2，n∈N，求证{bn}是等比数列，并求其通项公式；
    （3）在（2）条件下，求证数列{an}前100项中的所有偶数项的和S100＜100．

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    1．    2．     3．a＝－2．     4.    5．    6．  

    7．       8．     9．  10．     11．   12．0   13．    14．18

     

    15．解：（Ⅰ）由得，，         3分

    ，                      5分

    又，∴  。                                     7分

    （Ⅱ）由可得，，                    9分

    由得，,                                    12分

    所以，△ABC面积是                              14分

     

     

    17．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

    ∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

    在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

    ∴CD＝2，AD＝4．

    ∴SABCD＝

    ．……………… 3分

    则V＝．     ……………… 5分

    （Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，

    ∴AF⊥PC．            ……………… 7分

    ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

    ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

    ∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

    ∵E为PD中点，F为PC中点，

    ∴EF∥CD．则EF⊥PC．       ……… 9分

    ∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分

    （Ⅲ）证法一：

    取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．

    ∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

    ∴EM∥平面PAB．   ……… 12分

    在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

    ∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

    ∵MC 平面PAB，AB平面PAB，

    ∴MC∥平面PAB．  ……… 14分

    ∵EM∩MC＝M，

    ∴平面EMC∥平面PAB．

    ∵EC平面EMC，

    ∴EC∥平面PAB．   ……… 15分

    证法二：

    延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．

    ∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，

    ∴C为ND的中点．         ……12分

    ∵E为PD中点，∴EC∥PN．……14分

    ∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，

    ∴EC∥平面PAB．   ……… 15分

     

     

    17．解：（Ⅰ）n≥2时，．     ………………… 4分

    n＝1时，，适合上式，

    ∴．               ………………… 5分

    （Ⅱ），．          ………………… 8分

    即．

    ∴数列是首项为4、公比为2的等比数列．   ………………… 10分

    ，∴．……………… 12分

    Tn＝＝．            ………………… 14分

    18．解：（Ⅰ） …… 4分

    ＝                        …………………… 8分

     

     

     

     

    （Ⅱ）当0≤t＜10时，y的取值范围是[1200，1225]，

    在t＝5时，y取得最大值为1225；               …………………… 11分

    当10≤t≤20时，y的取值范围是[600，1200]，

    在t＝20时，y取得最小值为600．               …………………… 14分

    （答）总之，第5天，日销售额y取得最大为1225元；

    第20天，日销售额y取得最小为600元．         …………………… 15分

     

     

     

    19. 解:(Ⅰ)设圆心,则,解得…………………(3分)

    则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为

    …………(5分)

    (Ⅱ)设,则,且…………………(7分)

    ==,所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)

    …………(10分)

    (Ⅲ)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,

    ,由,得

    ……………………(11分)

      因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得………………………

    (13分)

      同理,,所以=

      所以,直线和一定平行…………………………………………………………………(15分)

    20．解：（Ⅰ），，．

    ∴，且．    …………………… 2分

    解得a＝2，b＝1．                           …………………… 4分

    （Ⅱ），令，

    则，令，得x＝1（x＝－1舍去）．

    在内，当x∈时，，∴h(x)是增函数；

    当x∈时，，∴h(x)是减函数．     …………………… 7分

    则方程在内有两个不等实根的充要条件是……10分

    即．                                               …………………… 12分

    （Ⅲ），．

    假设结论成立，则有

    ①－②，得．

    ∴．

    由④得，

    ∴．即．

    即．⑤                              …………………… 14分

    令，（0＜t＜1)，

    则＞0．∴在0＜t＜1上增函数．

    ，∴⑤式不成立，与假设矛盾．

    ∴．                     ……………………………16

     


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