（I）证明：取AC中点F，连结MF，BF，

在三角形AC₁C中，MN//C₁C且

，

   （II）设A₁到平面AB₁C₁的距离为h，AA₁⊥平面A₁B₁C₁

   （III）三棱柱ABC―A₁B₁C₁是直三棱柱，平面ABB₁A₁⊥平面A₁B₁C₁，又点D是等腰直角三角形A₁B₁C₁斜边A₁B₁的中点。

则C₁D⊥A₁B₁

所以，；

平面A₁B₁BA内，过D作DE⊥AB₁，垂足为E，连结C₁E，则C₁E⊥AB_1；

是二面角，A₁―AB₁―C₁的平面角，

在Rt

所以，二面角，A₁―AB₁―C₁的大小为   ………………14分

17．（本小题满分13分）

解：（I）设在第一次更换灯棍工作中，不需要更换灯棍的概率为P₁，则

                                       ………………………………4分

   （II）对该盏灯来说，在第1，2次都更换了灯棍的概率为；在第一次未更换灯棍而在第二次需要更换灯棍的概率为，故所求概率为

          ………………………………8分

   （III）的可能取值为0，1，2，3；

    某盏灯在第二次灯棍更换工作中需要更换灯棍的概率为

    的分布列为

P

0

1

2

3

    此分布为二项分布―N（3，0.6）

                            …………………………13分

18．（本小题满分13分）

    解：

    设M（m，4-m²），则过M点曲线C的切线斜率k=-2m。

              …………………………6分

    由x=0，得

    由y=0，得

    设△AOB的面积为S，则

    令

    当上为减函数；

    当上为增函数；

    …………13分

19．（本小题满分14分）

   （I）由焦点F（1，0）在上，得……………………1分

设点N（m，n）则 有：，      …………………………3分

解得，                       ……………………5分

N点不在抛物线C上。                    ………………………………7分

   （2）把直线方程代入抛物线方程得：

解得。………………12分

当P与M重合时，a=1

20．（本小题满分13分）

    解：（I）因为，又因为当x=0时，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有实数根0。

    所以函数是的集合M中的元素。………………………………3分

   （II）假设方程f（x）-x=0存在两个实数根不妨设，根据题意存在数

        使得等式成立。

        因为

        与已知矛盾，所以方程只有一个实数根；…………8分

   （III）不妨设

    又因为为减函数，

所以

所以

    所以

         …………………………13分