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    [解]:(1)由于点在椭圆上. ------1分 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    如图，已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（-c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的一个动点，满足|F1Q|=2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点M在线段F2Q上，且满足•=0，||≠0．
    （Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
    （Ⅱ）设不过原点O的直线l与轨迹C交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围；
    （Ⅲ）由（Ⅱ）求解的结果，试对椭圆Γ写出类似的命题．（只需写出类似的命题，不必说明理由）

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    已知点E、F的坐标分别是（-2，0）、（2，0），直线EP、FP相交于点P，且它们的斜率之积为-
    1
    4
    ．
    （1）求证：点P的轨迹在一个椭圆C上，并写出椭圆C的方程；
    （2）设过原点O的直线AB交（1）中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为(1，
    1
    2
    )    ，试求△MAB面积的最大值，并求此时直线AB的斜率kAB；
    （3）反思（2）题的解答，当△MAB的面积取得最大值时，探索（2）题的结论中直线AB的斜率kAB和OM所在直线的斜率kOM之间的关系．由此推广到点M位置的一般情况或椭圆的一般情况（使第（2）题的结论成为推广后的一个特例），试提出一个猜想或设计一个问题，尝试研究解决．
    [说明：本小题将根据你所提出的猜想或问题的质量分层评分]．

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    已知点E、F的坐标分别是（-2，0）、（2，0），直线EP、FP相交于点P，且它们的斜率之积为．
    （1）求证：点P的轨迹在一个椭圆C上，并写出椭圆C的方程；
    （2）设过原点O的直线AB交（1）中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为，试求△MAB面积的最大值，并求此时直线AB的斜率kAB；
    （3）反思（2）题的解答，当△MAB的面积取得最大值时，探索（2）题的结论中直线AB的斜率kAB和OM所在直线的斜率kOM之间的关系．由此推广到点M位置的一般情况或椭圆的一般情况（使第（2）题的结论成为推广后的一个特例），试提出一个猜想或设计一个问题，尝试研究解决．
    [说明：本小题将根据你所提出的猜想或问题的质量分层评分]．

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    已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点.

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）是否存过点（2,1）的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

    【解析】第一问利用设椭圆的方程为，由题意得

    解得

    第二问若存在直线满足条件的方程为，代入椭圆的方程得

    ．

    因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，

    所以

    所以．解得。

    解：⑴设椭圆的方程为，由题意得

    解得，故椭圆的方程为．……………………4分

    ⑵若存在直线满足条件的方程为，代入椭圆的方程得

    ．

    因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，

    所以

    所以．

    又，

    因为，即，

    所以．

    即．

    所以，解得．

    因为A,B为不同的两点，所以k=1/2．

    于是存在直线L1满足条件，其方程为y=1/2x

     

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    设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点.

    （Ⅰ）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；

    （Ⅱ）若，证明直线的斜率 满足

    【解析】(1)解：设点P的坐标为.由题意，有  ①

    由，得，

    由，可得，代入①并整理得

    由于，故.于是，所以椭圆的离心率

    （2）证明：（方法一）

    依题意，直线OP的方程为，设点P的坐标为.

    由条件得消去并整理得  ②

    由，及，

    得.

    整理得.而，于是，代入②，

    整理得

    由，故，因此.

    所以.

    (方法二)

    依题意，直线OP的方程为，设点P的坐标为.

    由P在椭圆上，有

    因为，，所以，即   ③

    由，，得整理得.

    于是，代入③，

    整理得

    解得，

    所以.

     

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