Question

已知点E、F的坐标分别是（-2，0）、（2，0），直线EP、FP相交于点P，且它们的斜率之积为-

1

4

．
（1）求证：点P的轨迹在一个椭圆C上，并写出椭圆C的方程；
（2）设过原点O的直线AB交（1）中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为(1，

1

2

)，试求△MAB面积的最大值，并求此时直线AB的斜率k_AB；
（3）反思（2）题的解答，当△MAB的面积取得最大值时，探索（2）题的结论中直线AB的斜率k_AB和OM所在直线的斜率k_OM之间的关系．由此推广到点M位置的一般情况或椭圆的一般情况（使第（2）题的结论成为推广后的一个特例），试提出一个猜想或设计一个问题，尝试研究解决．
[说明：本小题将根据你所提出的猜想或问题的质量分层评分]．

Answer 1

分析：（1）由已知中点E，F的坐标分别是（-2，0）、（2，0），直线EP，FP相交于点P，且它们的斜率之积为 -

1

4

．我们设出P（x，y），进而得到x，y之间的关系式，整理后即可知点P的轨迹方程．
（2）设直线AB的方程为y=kx，A（x₁，kx₁），则B（-x₁，-kx₁），联立直线和椭圆的方程，我们可得 x2=

4

1+4k2

，利用弦定公式，求出AB的长，利用点到直线公式，求出M点直线AB的距离求出AB边的高，可以得到△MAB面积的表达式，进而求出△MAB面积m的取值范围，得到△MAB面积m的，代入可求出对应的k值．
（3）设M（1，4），根据（2）的计算办法，我们易求出，△MAB的面积取得最大值时，并求出此进k_OM及k_AB的值，验证后，可得猜想不成立．

解答：解：（1）设P（x，y）为轨迹上的动点，由题意

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

⇒x2+4y2=4
即

x2

4

+y2=1，∴点P的轨迹在椭圆C：

x2

4

+y2=1上；------------4分
（2）设直线AB的方程为y=kx，A（x₁，kx₁），则B（-x₁，-kx₁）
联立方程 y=kx与

x2

4

+y2=1
整理可得 x2=

4

1+4k2

AB=2OA=2

(1+k2)x12

=4

1+k2 1+4k2

∵M（ 1，

1

2

）到直线AB的距离d=

|k- 1 2 |

1+k2

S△MAB=

1

2

AB•d=

1

2

×4

1+k2 1+4k2

×

|k- 1 2 |

1+k2

=m
则4（1-m²）k²-4k+1-m²=0
则4²-4•4（1-m²）•（1-m²）≥0
即（1-m²）²≤1
又由m≥0可得
0≤m≤

2

即三角形MAB的最大值为

2

代入4（1-m²）k²-4k+1-m²=0得
k=-

1

2

（3）说明：本小题共（8分），建议根据学生提出的问题或猜想的质量划分为三档，其中：
（Ⅰ）此档最高得分（4分），若学生提出诸如：
“设点M（1，b）（ab≠0）为椭圆C：

x2

4

+y2=1内一点，过椭圆C中心的直线AB与椭圆分别交于A、B两点，当且仅当k_OM=-k_AB时，△MAB的面积取得最大值．此推广不充分，且为假命题的猜想，但能举出反例否定之，则最高得（4分）；
若提出的猜想或问题质量不高，则无论能否自行解决，最高得（2分）．
（Ⅱ）此档最高得分（6分），若学生的猜想或设计的问题能将点M的位置推广到一般情况或者能将椭圆方程推广到一般情况（即推广了其中一个条件），则可得（4分）；
若能分析“k_OM=-k_AB”为假命题，并能进一步尝试发现斜率k_AB和k_OM之间的关系（但无明确结论），则最高可得（5分）；
学生在自行解决推广其中一个条件的问题中，若能发现k_AB和k_OM之间的规律（本质规律参考满分一档的解答）或完整解答自己提出的推广问题，则可得（6分）．
（Ⅲ）最高得分（8分），若学生能提出较一般化的推广，例如：
试问1：“设点M（m，n）（mn≠0）和椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），若过椭圆C中心的直线AB与椭圆分别交于A、B两点，试验证：当△MAB的面积取得最大值时，直线AB的泄率k_AB和OM所在直线的斜率k_OM满足kAB•kOM=-

b2

a2

”（或其等价命题）则可得（6分）；
试问2：“设点M（m，n）（mn≠0）和椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），若过椭圆C中心的直线AB与椭圆分别交于A、B两点，试求出当△MAB的面积取得最大值时，直线AB的泄率k_AB和OM所在直线的斜率k_OM满足的关系式”则可得（5分）；
若能找到本质规律并给予证明，则得满分（8分）．现给出设问1的一种证明：
证明：设M（m，n）（mn≠0），由椭圆的对称性，可设A（acosθ，bsinθ），点A到直线OM的距离为d，由此OM所在直线方程为nx-my=0，∴d=

|ancosθ-bmsinθ|

m2+n2

=

a2n2+b2m2 m2+n2

|sin(θ+φ)|，
其中

sinφ= an a2n2+b2m2 cosφ= -bm a2n2+b2m2

，可得tanφ=-

an

bm

要使d取得最大值，则必有sin（θ+φ）=±1，即θ+φ=kπ+

π

2

，k∈Z∴此时必有θ=kπ+

π

2

-φ，k∈Z，由题设，当d取得最大值时，kAB=

b

a

tanθ=

b

a

•tan(kπ+

π

2

-φ)=

b

a

•cotφ=

b

a

•(

-bm

an

)=-

b2m

a2n

∴此时kAB•kOM=-

b2m

a2n

•

n

m

=-

b2

a2

，
可以验证，在第（2）题条件下，kAB•kOM=-

1

4

是以上结论的一个特例．

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，其中（1）的关键是分别求出两条直线的斜率，进而得到P点横、纵坐标的关系式，（2）的关键是得到△MAB面积的表达式，（3）中正面证明比较麻烦，可以举出一反例，推反前面的猜想．