Question

已知点E，F的坐标分别是（-2，0）、（2，0），直线EP，FP相交于点P，且它们的斜率之积为．
（1）求证：点P的轨迹在椭圆上；
（2）设过原点O的直线AB交（1）题中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为，试求△MAB面积的最大值，并求此时直线AB的斜率k_AB；
（3）某同学由（2）题结论为特例作推广，得到如下猜想：
设点M（a，b）（ab≠0）为椭圆内一点，过椭圆C中心的直线AB与椭圆分别交于A、B两点．则当且仅当k_OM=-k_AB时，△MAB的面积取得最大值．
问：此猜想是否正确？若正确，试证明之；若不正确，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中点E，F的坐标分别是（-2，0）、（2，0），直线EP，FP相交于点P，且它们的斜率之积为．我们设出P（x，y），进而得到x，y之间的关系式，整理后即可得到点P的轨迹方程．
（2）设直线AB的方程为y=kx，A（x₁，kx₁），则B（-x₁，-kx₁），联立直线和椭圆的方程，我们可得，利用弦定公式，求出AB的长，利用点到直线公式，求出M点直线AB的距离求出AB边的高，可以得到△MAB面积的表达式，进而求出△MAB面积m的取值范围，得到△MAB面积m的，代入可求出对应的k值．
（3）设M（1，4），根据（2）的计算办法，我们易求出，△MAB的面积取得最大值时，并求出此进k_OM及k_AB的值，验证后，可得猜想不成立．
解答：证明：（1）设P（x，y），由直线PE，PF的斜率均存在可知，x≠±2
由题意可得，
整理可得，（x≠±2）
点P的轨迹为椭圆上
（2）设直线AB的方程为y=kx，A（x₁，kx₁），则B（-x₁，-kx₁）
联立方程
整理可得
AB=2OA==
∵M（）到直线AB的距离d=
==m
则4（1-m²）k²-4k+1-m²=0
则4²-4•4（1-m²）•（1-m²）≥0
即（1-m²）²≤1
又由m≥0可得
0≤m≤
即三角形MAB的最大值为
代入4（1-m²）k²-4k+1-m²=0得
k=
（3）设M（1，），则M点在椭圆内
由（2）中推导过程，可得
当k_0M=，k_AB=-1时，△MAB的面积取得最大值
此时k_OM≠-k_AB，
故猜想：点M（a，b）（ab≠0）为椭圆内一点，
过椭圆C中心的直线AB与椭圆分别交于A、B两点．
则当且仅当k_OM=-k_AB时，△MAB的面积取得最大值正确
点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，其中（1）的关键是分别求出两条直线的斜率，进而得到P点横、纵坐标的关系式，（2）的关键是得到△MAB面积的表达式，（3）中正面证明比较麻烦，可以举出一反例，推反前面的猜想．