已知，φ，sinφ），函数φ （其中的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为P（，2），在原点右侧与x轴的第一个交点为Q（，0）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2判断函数f（x）在区间上是否存在对称轴，存在求出方程；否则说明理由．

已知函数f（x）=a^x-a^-x，（a＞0且a≠1），
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断f（x）的单调性，并说明理由．（不需要严格的定义证明，只要说出理由即可）
（3）若a=

1

2

，方程f（x）=x+1是否有根？如果有根x₀，请求出一个长度为1的区间（a，b），使x₀∈（a，b）；如果没有，请说明理由．（注：区间（a，b）的长度=b-a）

已知常数a≠0，数列{a_n}前n项和为S_n，且Sn=an2-(a-1)n．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）若an≤2n3-13n2+11n+1对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=

1

2

，数列{c_n}满足：cn=

an

an+2012

，对于任意给定的正整数k，是否存在p，q∈N^*，使得c_k=c_p•c_q？若存在，求出p，q的值（只要写出一组即可）；若不存在说明理由．

已知常数a≠0，数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且an=

Sn

n

+a(n-1)．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）若bn=3n+(-1)nan，且数列{b_n}是单调递增数列，求实数a的取值范围；
（3）若a=

1

2

，数列{c_n}满足：cn=

an

an+2011

，对于任意给定的正整数k，是否存在p，q∈N^*，使c_k=c_p•c_q？若存在，求p，q的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由．

已知：函数f(x)=

2x+3

3x

，数列{a_n}对n≥2，n∈N总有an=f(

1

an-1

)，a1=1；
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求和：S_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1
（3）若数列{b_n}满足：①{b_n}为{

1

an

}的子数列（即{b_n}中的每一项都是{

1

an

}的项，且按在{

1

an

}中的顺序排列）②{b_n}为无穷等比数列，它的各项和为

1

2

．这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列{b_n}，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由．