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题目列表(包括答案和解析)

已知函数的最小值为0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；

（Ⅲ）证明（）.

【解析】(1)解：的定义域为

由，得

当x变化时，，的变化情况如下表：

x
	-	0	+
		极小值

因此，在处取得最小值，故由题意，所以

（2）解：当时，取，有，故时不合题意.当时，令，即

令，得

①当时，，在上恒成立。因此在上单调递减.从而对于任意的，总有，即在上恒成立，故符合题意.

②当时，，对于，，故在上单调递增.因此当取时，，即不成立.

故不合题意.

综上，k的最小值为.

（3）证明：当n=1时，不等式左边==右边，所以不等式成立.

当时，

在（2）中取，得，

从而

所以有

综上，，

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某中学研究性学习小组，为了考察高中学生的作文水平与爱看课外书的关系，在本校高三年级随机调查了 50名学生.调査结果表明：在爱看课外书的25人中有18人作文水平好，另7人作文水平一般；在不爱看课外书的25人中有6人作文水平好，另19人作文水平一般.

（Ⅰ）试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系？

高中学生的作文水平与爱看课外书的2×2列联表

	爱看课外书	不爱看课外书	总计
作文水平好
作文水平一般
总计

（Ⅱ）将其中某5名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为1、2、3、4、5，某5名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1、2、3、4、5，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率.

参考公式：，其中.

参考数据：

	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

【解析】本试题主要考查了古典概型和列联表中独立性检验的运用。结合公式为判定两个分类变量的相关性，

第二问中，确定

结合互斥事件的概率求解得到。

解：因为2×2列联表如下

	爱看课外书	不爱看课外书	总计
作文水平好	18	6	24
作文水平一般	7	19	26
总计	25	25	50

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已知函数，，k为非零实数.

（Ⅰ）设t=k²,若函数f(x),g(x)在区间(0,+∞)上单调性相同，求k的取值范围;

（Ⅱ）是否存在正实数k，都能找到t∈[1,2],使得关于x的方程f(x)=g(x)在[1,5]上有且仅有一个实数根，且在[－5,－1]上至多有一个实数根.若存在，请求出所有k的值的集合；若不存在，请说明理由.

【解析】本试题考查了运用导数来研究函数的单调性，并求解参数的取值范围。与此同时还能对于方程解的问题，转化为图像与图像的交点问题来长处理的数学思想的运用。

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已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求在区间上的最大值；

（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

【解析】第一问当时，，则。

依题意得：，即解得

第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设，则，显然

∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

即（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

（Ⅰ）当时，，则。

依题意得：，即解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①当时，，令得

当变化时，的变化情况如下表：

	0
—	0	+	0	—
单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

又，，。∴在上的最大值为2.

②当时, .当时, ,最大值为0；

当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

当时，即时，在区间上的最大值为。

（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设，则，显然

∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

即（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

若，则代入（*）式得：

即，而此方程无解，因此。此时，

代入（*）式得：即（**）

令，则

∴在上单调递增， ∵ ∴,∴的取值范围是。

∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

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已知函数f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（Ⅱ）由题意知，令则

令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即

从而，又

所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

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1．（共12 分）解：（I） 6ec8aac122bd4f6e ，，

6ec8aac122bd4f6e = ?

6ec8aac122bd4f6e 2分

6ec8aac122bd4f6e 4分

6ec8aac122bd4f6e = . 5分

又 6ec8aac122bd4f6e 6分

函数 6ec8aac122bd4f6e 的最大值为. 7分

当且仅当 6ec8aac122bd4f6e （Z）时，函数取得最大值为.

（II）由 6ec8aac122bd4f6e （Z）， 9分

得 6ec8aac122bd4f6e （Z）. 11分

函数 6ec8aac122bd4f6e 的单调递增区间为[](Z). 12

2．解：(Ⅰ) 选手甲答 6ec8aac122bd4f6e 道题进入决赛的概率为； ……………1分

选手甲答 6ec8aac122bd4f6e 道题进入决赛的概率为；…………………………3分

选手甲答5道题进入决赛的概率为 6ec8aac122bd4f6e ； …………………5分

∴选手甲可进入决赛的概率 6ec8aac122bd4f6e ++． …………………7分

(Ⅱ)依题意， 6ec8aac122bd4f6e 的可能取值为．则有，

6ec8aac122bd4f6e ，

6ec8aac122bd4f6e ， …………………………10分

因此，有

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e ． ……………………………12分

3．（共12分）解法一：

解：（Ⅰ） 6ec8aac122bd4f6e 且平面.-------------2分

6ec8aac122bd4f6e 为在平面内的射影. --------3分

又 6ec8aac122bd4f6e ⊥, ∴⊥. ----------4分

（Ⅱ）由（Ⅰ） 6ec8aac122bd4f6e ⊥，又⊥，

∴ 6ec8aac122bd4f6e 为所求二面角的平面角. -------6分

又∵ 6ec8aac122bd4f6e ==4,

∴ 6ec8aac122bd4f6e =4 . ∵=2 , ∴=60°. -------8分

即二面角 6ec8aac122bd4f6e 大小为60°.

（Ⅲ）过 6ec8aac122bd4f6e 作于D，连结,

由（Ⅱ）得平面 6ec8aac122bd4f6e 平面,又平面,

∴平面 6ec8aac122bd4f6e 平面,且平面平面,

∴ 6ec8aac122bd4f6e 平面.

∴ 6ec8aac122bd4f6e 为在平面内的射影.

6ec8aac122bd4f6e . --------10分

在 6ec8aac122bd4f6e 中，，

在 6ec8aac122bd4f6e 中，，.

∴ 6ec8aac122bd4f6e =. ------------11分

所以直线 6ec8aac122bd4f6e 与平面所成角的大小为. ----12分

解法二：解：（Ⅰ）由已知 6ec8aac122bd4f6e ，

以 6ec8aac122bd4f6e 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则 6ec8aac122bd4f6e ,. -------2分

6ec8aac122bd4f6e 则，.

6ec8aac122bd4f6e .

6ec8aac122bd4f6e . ----------------4分

（Ⅱ） 6ec8aac122bd4f6e ，平面.

6ec8aac122bd4f6e 是平面的法向量. -------5分

设侧面 6ec8aac122bd4f6e 的法向量为,

6ec8aac122bd4f6e ,.

6ec8aac122bd4f6e ,

6ec8aac122bd4f6e .令则.

则得平面 6ec8aac122bd4f6e 的一个法向量. ---------6分

6ec8aac122bd4f6e .

即二面角 6ec8aac122bd4f6e 大小为60°. ----------8分

（Ⅲ）由（II）可知 6ec8aac122bd4f6e 是平面的一个法向量. --------10分

又 6ec8aac122bd4f6e ， . -----11分

所以直线 6ec8aac122bd4f6e 与平面所成角为 ---------12分

4．解：（I）函数 6ec8aac122bd4f6e

当 6ec8aac122bd4f6e …………2分

当x变化时， 6ec8aac122bd4f6e 的变化情况如下：

6ec8aac122bd4f6e

―

6ec8aac122bd4f6e

极小值

6ec8aac122bd4f6e

由上表可知，函数 6ec8aac122bd4f6e ；

单调递增区间是 6ec8aac122bd4f6e

极小值是 6ec8aac122bd4f6e …………6分

（II）由 6ec8aac122bd4f6e …………7分

又函数 6ec8aac122bd4f6e 为[1，4]上单调减函数，

则 6ec8aac122bd4f6e 在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立.

即 6ec8aac122bd4f6e 在[1，4]上恒成立. …………10分

又 6ec8aac122bd4f6e 在[1，4]为减函数，

所以 6ec8aac122bd4f6e

所以 6ec8aac122bd4f6e …………12分

5．解：椭圆 6ec8aac122bd4f6e 的左、右焦点分别为、， ……2分

又 6ec8aac122bd4f6e ， , ………3分

解得 6ec8aac122bd4f6e ，

6ec8aac122bd4f6e 椭圆的方程为． ………4分

（Ⅱ）由 6ec8aac122bd4f6e ，得．

设点 6ec8aac122bd4f6e 、的坐标分别为、，则……5分

6ec8aac122bd4f6e ．

（1）当 6ec8aac122bd4f6e 时，点、关于原点对称，则．

（2）当 6ec8aac122bd4f6e 时，点、不关于原点对称，则，

由 6ec8aac122bd4f6e ，得即

6ec8aac122bd4f6e 点在椭圆上，有，

化简，得 6ec8aac122bd4f6e ．

6ec8aac122bd4f6e ，有．………………① ……………7分

又 6ec8aac122bd4f6e ，

6ec8aac122bd4f6e 由，得．……………………………②　　　

将①、②两式，得 6ec8aac122bd4f6e ．

6ec8aac122bd4f6e ，，则且．

综合（1）、（2）两种情况，得实数 6ec8aac122bd4f6e 的取值范围是． ………………8分

（Ⅲ） 6ec8aac122bd4f6e ，点到直线的距离，

6ec8aac122bd4f6e 的面积

6ec8aac122bd4f6e ． ………………………… 10分

由①有 6ec8aac122bd4f6e ，代入上式并化简，得．

6ec8aac122bd4f6e ，． ……………………… 11分

当且仅当 6ec8aac122bd4f6e ，即时，等号成立．

6ec8aac122bd4f6e 当时，的面积最大，最大值为． ……………………… 12分

6．解：（1）

……………………4分

（2）的对称轴垂直于x轴，且顶点为P_n，

∴设的方程为

把，

∴的方程为

∵……………………6分

∴

=…………………………8分

（3）

∴S中最大数a₁=－17.…………………………10分

设公差为d，则a₁₀=

由此得

又∵∴∴

∴……………………12分

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2009届新课标数学考点预测（26）：函数与方程的思想方法

《2009年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法”。其中数学思想方法包括：函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类整合的思想方法、特殊与一般的思想方法、转化与化归的思想方法、必然与或然的思想方法。数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构” 。而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度” 。“ 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。” 数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。

一、函数与方程的思想

所谓函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是要善于利用函数知识或函数观点去观察分析处理问题。

所谓方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决，方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是利用方程或方程观点观察处理问题。函数思想与方程思想是密不可分的，可以相互转化的。

函数和方程的思想是最重要和最常用的数学思想，它贯穿于整个高中教学中，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数与方程的思想是相当重要的．在高考中，函数与方程的思想也是作为思想方法的重点来考查的，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。

1、利用函数与方程的性质解题

例1．（2008安徽卷，理,11）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）

A． B．

C．

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