质量均为m的小球B用一根轻质弹簧竖直固定的内壁光滑的直圆筒内，平衡时弹簧的压缩量为x₀，如图所示．设弹簧的弹性势能与弹簧的形变量（即伸长量或缩短量）的平方成正比．小球A从小球B的正上方距离为3x₀的P处自由落下，落在小球B上立刻与小球B粘连在一起向下运动，它们达到最低点后又向上运动，已知小球A的质量也为m时，它们恰能回到O点（设两个小球直径相等，且远小于x₀，略小于直圆管内径），求：
（1）两个小球及弹簧组成的系统在上述过程中机械能是否守恒；
（2）弹簧初始时刻的机械能；
（3）小球A与小球B一起向下运动时速度的最大值．

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（2005?西城区模拟）质量为m的小球B用一根轻质弹簧连接．现把它们放置在竖直固定的内壁光滑的直圆筒内，平衡时弹簧的压缩量为x₀，如图所示，小球A从小球B的正上方距离为3x₀的P处自由落下，落在小球B上立刻与小球B粘连在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，并恰能回到0点（设两个小球直径相等，且远小于x₀略小于直圆筒内径），已知弹簧的弹性势能为

1

2

k?△x2，其中k为弹簧的劲度系数，△x为弹簧的形变量．求：
（1）小球A质量．
（2）小球A与小球B一起向下运动时速度的最大值．

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质量为m的小球B用一根轻质弹簧连接.现把它们放置在竖直固定的内壁光滑的直圆筒内，平衡时弹簧的压缩量为x₀，如图11所示.小球A从小球B的正上方距离为3x₀的P处自由落下，落在小球B上立刻与小球B粘连在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，并恰能回到O点(设两个小球直径相等，且远小于x₀，略小于直圆筒内径).已知弹簧的弹性势能为k·Δx²，其中k为弹簧的劲度系数，Δx为弹簧的形变量.求：

图11

（1）小球A的质量;

（2）小球A与小球B一起向下运动时速度的最大值.

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一、选择

试题

1A

1B

2A

2B

3A

4

5A

5B

6A

6B

答案

AD

AC

AD

D

D

D

D

D

AC

BD

试题

6C

7A

7B

7C

7D

8

9A

9B

10A

10B

答案

BC

AC

B

B

AB

BC

BD

C

BC

AD

二、填空

11、 AD   12、（1）图略  （2）ABD  13A、在相等的闪光时间间隔内，平抛小球运动的水平距离相同，说明平抛运动在水平方向上的分运动为匀速直线运动；任意闪光时刻平抛运动小球与自由落体小球都处在同一水平线上，说明平抛运动在竖直方向上的分运动为自由落体运动。

13B、 ；       13C、 ；1.6m/s    

三、计算

14A、（1）3.0m/s；（2）3.0m

14B、（1）0.15  （2）1.5 （3）3.0m

15A、（1）    （2）

16A．（1）设运动员从C点飞出时的速度这v_C，根据动能定理

解得

（2）设运动员在着陆坡CD上的着陆位置与C点的距离为L，则

水平方向上  

竖直方向上   

解得L＝120m

16B、（1）     （2）还能停在C点；

17A、

17B、（1）  （2）

17C、（1）；（2） ，从月球表面发射的好处是发射速度较小，难度较小；

17D、不同意，略解 应由 ，得，所以

18．落地时速度，

曲膝过程中重心下降高度    。

起跳后上升高度   

起跳过程离地时的速度    ，

设起跳过程离地前的加速度为，则，

设起跳过程蹬地的作用力大小为F，则其反作用力（地面对人的作用力）大小也是F，根据牛顿第二定律

解得

19A、（1）（2）

19B、（1）整个系统在A下落到与B碰撞前，机械能守恒；AB碰撞的过程中，系统机械能不守恒；AB碰撞后至回到O点过程中，机械能守恒； 

（2）弹簧从原长压缩到x₀的过程中，弹簧力与位移成线性关系，所以，克服弹簧力的功可以由平均力求出：     ，

最大弹力等于物体的重力，且克服弹簧力的功等于弹簧增加的弹性势能，所以，弹簧被压缩后即初始时刻的弹性势能  

（3）设A与B接触时的速度为v₁，由机械能守恒，

，

    二物体相碰过程动量守恒  ，粘合后速度   。

A和B粘合后加速下行，当弹簧弹力等于二物体总重力时速度达到最大，此时弹簧压缩量为2x₀，设最大速度为v_m。设达到最大速度时弹簧的弹性势能为，由题设条件可知

二物体粘合后机械能守恒，取速度最大处为零势能面，则

   解得   

20、（1）  （2）最大不超过   （3）60.6J