题目列表(包括答案和解析)
．E,F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则
（ ）
A.
B.
C.
D. 
．本小题满分15分）
如图，已知椭圆E：
，焦点为
、
，双曲线G：
的顶点是该椭
圆的焦点，设
是双曲线G上异于顶点的任一点，直线
、
与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形
的周长等于
，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为.
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线、的斜率分别为
和
，探求和
的关系；
（3）是否存在常数
，使得
恒成立？
若存在，试求出的值；若不存在， 请说明理由．
．(本小题满分l 4分)
如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
(Ⅰ)求证：BD⊥平面POA；
(Ⅱ)当PB取得最小值时，请解答以下问题：
(i)求四棱锥P-BDEF的体积；
(ii)若点Q满足
=λ
(λ
>0)，试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于
?并说明理由．
．本小题满分15分）
如图，已知椭圆E：
，焦点为
、
，双曲线G：
的顶点是该椭
圆的焦点，设
是双曲线G上异于顶点的任一点，直线
、
与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形
的周长等于
，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为.
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线、的斜率分别为
和
，探求
和的关系；
（3）是否存在常数
，使得
恒成立？
若存在，试求出的值；若不存在，
请说明理由．
．设双曲线C：
（
）的左、右焦点分别为 F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得 |PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为
(A) (1,2] (B)
(C)
(D) (1,2)
第1卷
一、选择题
1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．C
7．B 8．A 9．D 10．C 11．A 12．A
第Ⅱ卷
二、填空题
13．
14．（理）
（文）3x+3y－2=0
15．（－3，0）
（3，+∞）
16．②④
三、解答题
17．（Ⅰ）这批食品不能出厂的概率是：
（Ⅱ）五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：
五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：
由互斥事件有一个发生的概率加法公式可知，五项指标全部检验完毕，
才能确定这批食品出厂与否的概率是：
18．（Ⅰ）设f（x）＝ax+b（a≠0），则c的方程为：
①
由点（2，
）在曲线c上，得1＝
（2一b）．
②
由①②解得a＝b＝1，∴曲线c的方程为y＝x－1．
（Ⅱ）由，点（n+1，
）底曲线c上，有＝n
于是
．
?…?
，
即
注意到a1＝1，所以an＝（n－1）!
（Ⅲ）
∴
．
19．（甲）（Ⅰ）选取DA1、DC、DD1，分别为Ox、Oy、Oy轴建立空间直角坐标，易知E（0，0，
），F（，，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），
，
＝0，
．
（Ⅱ）G（0，
，－1），Cl（0，1，1），
．
（Ⅲ）
，
（乙）
（Ⅰ）用反证法易证B1D1与A1D不垂直．
（Ⅱ）由余弦有cos∠AC1D1=
设AC1=x，则
上
单调递增．
（Ⅲ）∵A1B1∥C1D1，∴∠AC1D1为异面直线AC1与A1B1所成角．
由余弦定理，有
设AC1＝x，则
故AC1与A1B1所成角的取值范围是
20．（理）解：
（Ⅰ）∵f（x）与g（x）的图像关于直线x－1＝0对称，
∴f（x）＝g（2－x）．
，
f（x）＝g（2一x）＝－ax+2x3．
又f（x）是偶函数，∴
f（x）=f（－x）＝ax一2x3．
（Ⅱ）f（x）＝a－6x2，∵f（x）为[0，1]上的增函数．
∴f'（x）＝a－6x2≥0，
∴a≥6x2在
上，恒成立．
∵x
[0，1）时，6x2≤6，∴a≥6．
即a的取值范围是[6，+∞）．
（Ⅲ）当a在[0，1）上的情形．
由f'（x）=0，得
得a=6．此时x＝1
∴当a（－6，6）时，f（x）的最大值不可能是4．
（文）
（1）
（2）根据题意可得
，
整理得（ax－a）（ax+a－1）<0．
由于a>1，所以x<1．
即
．
21．解：
（Ⅰ）∵|PF1|一|PF2|=2a，又|PF1|＝3|PF2|．
∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a．
设F1（－c，0），F2（c，0），P（x0，y0），由
得3a=ex0+a，则x0=
．
∵P在双曲线右支上，∴x1≥a，即≥a，解得
1<e≤2．
∴e的最大值为2，此时
∴渐近线方程为
，
（Ⅱ）
．
又
．
∴
．
又
．
．
∴b2=C2－a2＝6．
∴双曲线方程为
．
22．（理）解：
（1）可求得f（x）＝
．
由f（x）<f（1）得．
整理得（ax－a）（ax+a―1）<0．
由于a>l，所以x<1．
（Ⅱ）
＝
,
由
，
，
即f（2）>2f（1）．
即f（3）>3f（1）．
（Ⅲ）更一般地，有：f（n）>nf（1） （n
*，n≥2）．
用数学归纳法证明，
①由（Ⅱ）知n＝2，3时，不等式成立．
②假设n＝k时，不等式成立，即f（k）>kf（1）．
．
这说明n＝k+1时，不等式也成立．
由①②可知，对于一切
，均有f（x）>nf（1）．
（文）解：
（Ⅰ）∵f（x）与g（x）的图像关于直线x－1＝0对称．
∴f（x）＝g（2－x），当x[－1，0]时，2一x[2，3]
f（x）＝g（2一x）＝一ax+2x3．
又∵f（x）是偶函数，∴x[0，1]时，一x[一1，0]
f（x）＝f（一x）＝ax一2x3．
（Ⅱ）
上的增函数．
上恒成立
．
即a的取值范围是[6，+∞]．
（Ⅲ）只考虑在[0，1）上的情形．
由
．
∴当
的最大值不可能是4．
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