设函数．

（I）求的单调区间；

（II）当0<a<2时，求函数在区间上的最小值．

【解析】第一问定义域为真数大于零，得到．．                            

令，则，所以或，得到结论。

第二问中， （）．

．                          

因为0<a<2，所以，．令 可得．

对参数讨论的得到最值。

所以函数在上为减函数，在上为增函数．

（I）定义域为．           ………………………1分

．                            

令，则，所以或．  ……………………3分          

因为定义域为，所以．                            

令，则，所以．

因为定义域为，所以．          ………………………5分

所以函数的单调递增区间为，

单调递减区间为．                         ………………………7分

（II） （）．

．                          

因为0<a<2，所以，．令 可得．…………9分

所以函数在上为减函数，在上为增函数．

①当，即时，            

在区间上，在上为减函数，在上为增函数．

所以．         ………………………10分  

②当，即时，在区间上为减函数．

所以．               

综上所述，当时，；

当时，

 

设函数．

(Ⅰ) 当时，求的单调区间；

(Ⅱ) 若在上的最大值为，求的值．

【解析】第一问中利用函数的定义域为（0，2），.

当a=1时，所以的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，2）；

第二问中，利用当时， >0, 即在上单调递增，故在上的最大值为f(1)=a 因此a=1/2.

解：函数的定义域为（0，2），.

（1）当时，所以的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，2）；

（2）当时， >0, 即在上单调递增，故在上的最大值为f(1)=a 因此a=1/2.

 

设函数，其中为自然对数的底数.

（1）求函数的单调区间；

（2）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值.

【解析】第一问利用由已知，所以，

由，得， 所以，在区间上，，函数在区间上单调递减； 在区间上，，函数在区间上单调递增；

第二问中，因为，所以曲线在点处切线为：.

切线与轴的交点为，与轴的交点为，

因为，所以，  

， 在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.所以，当时，有最大值，此时，

解：（Ⅰ）由已知，所以， 由，得，  所以，在区间上，，函数在区间上单调递减； 

在区间上，，函数在区间上单调递增；  

即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（Ⅱ）因为，所以曲线在点处切线为：.

切线与轴的交点为，与轴的交点为，

因为，所以，  

， 在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.所以，当时，有最大值，此时，

所以，的最大值为

 

已知函数，（），

（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值

（2）当时，若函数的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值。

【解析】（1）， 

∵曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线

∴，

∴

（2）令，当时，

令，得

时，的情况如下：

x
	+	0	-	0	+

所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为

当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上的最大值为，

当且，即时，函数在区间内单调递增，在区间上单调递减，在区间上的最大值为

当，即a>6时，函数在区间内单调递赠，在区间内单调递减，在区间上单调递增。又因为

所以在区间上的最大值为。

 

如图，，，…，，…是曲线上的点，，，…，，…是轴正半轴上的点，且，，…，，… 均为斜边在轴上的等腰直角三角形（为坐标原点）．

（1）写出、和之间的等量关系，以及、和之间的等量关系；

（2）求证：（）；

（3）设，对所有，恒成立，求实数的取值范围．

【解析】第一问利用有，得到

第二问证明：①当时，可求得，命题成立；②假设当时，命题成立，即有则当时，由归纳假设及，

得

第三问 

．………………………2分

因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即

解：（1）依题意，有，，………………4分

（2）证明：①当时，可求得，命题成立； ……………2分

②假设当时，命题成立，即有，……………………1分

则当时，由归纳假设及，

得．

即

解得（不合题意，舍去）

即当时，命题成立．  …………………………………………4分

综上所述，对所有，．    ……………………………1分

（3） 

．………………………2分

因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即

．……………2分

由题意，有． 所以，