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已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.

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如图，已知F（2，0）为椭圆（a＞b＞0）的右焦点，AB为椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦），线段OF的垂直平分线与椭圆相交于两点C、D，且∠CAD=90°．
（I）求椭圆的方程；
（II）设过点F斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆相交于两点P、Q．若存在一定点E（m，0），使得x轴上的任意一点（异于点E、F）到直线EP、EQ的距离相等，求m的值．

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说明：

    一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如

果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细

则。

    二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程

度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答

有较严重的错误，就不再给分。

    三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

    四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。

1．B   2．A  3．B  4．A  5．B   6．C  7．A  8．B   9．C  10．B  11．D  12．D

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

13．1     14．      15．5      16．8

三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

17．本题主要考查平面向量的数量积，两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，满分12分。

解：

  （I）

………………………………………2分

  即函数的解析式为 ?????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ） ??????????????????????????????????????? 6分

所以函数最小正周期???????????????????????????????????????????????????? 8分

当即时

取最大值，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

使函数取最大值的的集合为???????????????????????????????? 12分

18．本题主要考查空间几何体的直观图、三视图，空间线面的位置关系等基础知识；考察空间想象能力及推理论证能力，满分12分。

解（I）由三视图知这个多面体是一个水平放置的柱体，它的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面且长为       2分

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

???????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

（Ⅱ）连结

四边形是平行四边形，

过点。

为的中点，………………………………………8分

又是的中点，

，

平面平面

平面…………………………………………12分

19．本题主要考等差数列、数列求和等基础知识：考查推理论证与运算求解能力；考查化归与转化思想，满分12分。

解（I）点在函数的图象上，

数列是以首项为2公差为2的等差数列，???????????????????????????????????????? 2分

?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

，????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

???????????????????????? 10分

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．本题主要考查概率与统计的基础知识，考查运算求解能力及应用意识。

满分12分。

解：（I）设样本容量为，则，所以

所以样本的容量为120???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）设成绩在120分到150分的学生有个，

则，所以????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅲ）设成绩在120分到150分的学生中，男生比女生多的事件记为A，男生数与女生书记为数对（），则基本事件有：（5，15），（6，14），（7，13），（8，12），（9，11），

（10，10），（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），（17，3），

（18，2），（19，1），（20，0），共16对????????????????????????????????????????????????? 9分

而事件A包含的事件有：（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），

（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共10对。

所以??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

21．本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力及数形结合思想。满分12分。

解：（I）

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

依题意得??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）

等价于???????????????????????????????????????????????????? 6分

①当时恒成立，

的单调递增区间为?????????????????????????????????????????????????????????? 8分

②当时，由得

的单调递增区间为?????????????????????????????????????????????????????? 11分

综上所述：当时的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为???????????????????????????????????????? 12分

22．本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力及化归与转化思想。满分14分。

解：（I）设椭圆E的方程为

由已知得：

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

椭圆E的方程为?????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）设，线段中点的坐标为，则：

由得

化简得：

……5分

直线过点

而点在椭圆E内，

?????????????????????????????????????????????????????????? 6分

所以PQ中垂直的方程为：

所以直线在轴上的截距??????????????????????????????????????? 8分

??????????????????????????????????????????????????????????? 9分

（Ⅲ）假设存在符号条件的点，则由（Ⅱ）得：

         ????????????????????????????????????????????????? 10分

????????????????????????? 11分

所以

            ?????????????????????????????????????????? 12分

设

即

对于任意实数，上式恒成立，

所以????????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

得

所以符合条件的点存在，其坐标为???????????????????????????????????????????? 14分