双曲线C的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．

解法二：（1）∵OO₁⊥平面AC，

∴OO₁⊥OA，OO₁⊥OB，又OA⊥OB，

建立如图所示的空间直角坐标系（如图）

∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=2，OB=2，

则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），O₁（0，0，3）

设平面O₁BC的法向量为=（x，y，z），

则⊥，⊥，

∴，则z=2，则x=－，y=3，

∴=（－，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）

∴cos<，>=，

设O₁－BC－D的平面角为α， ∴cosα=∴α=60°.

故二面角O₁－BC－D为60°.                

（2）设点E到平面O₁BC的距离为d，

 ∵E是O₁A的中点，∴=（－，0，），

则d=∴点E到面O₁BC的距离等于。

20、解：（1）点都在斜率为6的同一条直线上，

，即，

于是数列是等差数列，故．………………3分

，，又与共线，

     …………4分

               ．    ………6分

当n＝1时，上式也成立．

所以a_n．  ……………7分

（2）把代入上式，

得

   12＜a≤15，，

   当n=4时，取最小值， 最小值为a₄=18－2a．   …………12分

21、解: (1) 由题意设双曲线方程为,把(1,)代入得（*）

又的焦点是（，0），故双曲线的（2分）与（*）

联立，消去可得，.

∴ ，（不合题意舍去）………（3分）

于是，∴ 双曲线方程为………（4分）

(2) 由消去得（*），当

即（）时，与C有两个交点A、B    ………（5分）

① 设A（，），B（，），因，故………（6分）

即，由（*）知，，代入可得

………（7分）

 化简得

∴ ，检验符合条件，故当时，………（8分）

② 若存在实数满足条件，则必须………（10分）

 由（2）、（3）得………（4）

把代入（4）得                      ………（11分）

这与（1）的矛盾，故不存在实数满足条件.          ………（12分）

22、解:（1）由已知： = ………………………2分

   依题意得：≥0对x∈[1，+∞恒成立………………4分

   ∴ax－1≥0对x∈[1，+∞恒成立    ∴a－1≥0即：a≥1……5分

  （2）∵a=1   ∴由（1）知：f（x）=在[1，+∞上为增函数，

     ∴n≥2时：f（）=  

   即：…7分  

       ∴……………………9分

设g（x）=lnx－x  x∈[1，+∞， 则对恒成立，

∴g′（x）在[1+∞为减函数…………12分

∴n≥2时：g（）=ln－<g（1）=－1<0  即：ln<=1+（n≥2）

∴

综上所证：（n∈N*且≥2）成立. ……14分