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    设直线?与椭圆
    x2
    25
    +
    y2
    16
    =1    相交于A、B两点，?又与双曲线x2-y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB．求直线?的方程．
    分析：先看当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，l与椭圆、双曲线的交点为：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）直线方程分别椭圆和双曲线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2和x3+x4的表达式，进而根据
    AC
    =
    DB
    求得k=0或b=0，分别求得k=0时和b=0时直线方程；进而看直线l与x轴垂直时，设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可求得交点坐标，根据|
    AB
    |=3|
    CD
    |    求得c，最后综合可得答案．
    解答：解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，
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    l与椭圆、双曲线的交点为：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）
    依题意有
    AC
    =
    DB
    ，
    AB
    =3
    CD
    ，
    由
    y=kx+b
    x2
    25
    +
    y2
    16
    =1
    得(16+25k2)x2-2bkx+(25b2-400)=0(1)
    ∴x1+x2=-
    50bk
    16+25k2

    由
    y=kx+b
    x2-y2=1
    得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0(2)
    若k=±1，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1∴x3+x4=
    2bk
    1-k2

    由
    AC
    =
    DB
    ?x3-x1=x2-x4?x1+x2=x3+x4    ?-
    50bk
    16+25k2
    =
    2bk
    1-k2
    ?bk=0?k=0或b=0
    (i)当k=0时，由(1)得x1，2=±
    5
    4
    		16-b2
    ，由(2)得x3，4=±
    		b2+1

    由
    AB
    =3
    CD
    ?x2-x1=3(x4-x3)，即
    10
    4
    		16-b2
    =6
    		b2+1
    ?b=±
    16
    13

    故l的方程为y=±
    16
    13

    （ii）当b=0时，由（1）得x1，2=±
    20
    		16+25k2
    ，由(2)得x3，4=±
    1
    		1-k2

    由由
    AB
    =3
    CD
    ?x2-x1=3(x4-x3)即
    40
    		16+25k2
    =
    6
    		1-k2
    ?k=±
    16
    25

    故l的方程为y=±
    16
    25
    x
    再讨论l与x轴垂直的情况．
    设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得，y1，2=±
    4
    5
    		25-c2
    ，y3，4=±
    		c2-1
    由|
    AB
    |=3|
    CD
    |?|y2-y1|=3|y4-y3|    即
    8
    5
    		25-c2
    =6
    		c2-1
    ?c=±
    25
    		241
    241
    故l的方程为x=±
    25
    		241
    241
    综上所述，
    故l的方程为y=±
    16
    13
    、y=±
    16
    25
    x    和x=±
    25
    		241
    241
    点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．当直线与圆锥曲线相交时，应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，
    		2
    )    且斜率为k的直线l与椭圆
    x2
    2
    +y2=1    有两个不同的交点P和Q．
    （Ⅰ）求k的取值范围；
    （Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量
    OP
    +
    OQ
    与
    AB
    共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，过点M（-2，0）的直线l与椭圆
    x22
    +y2=1    交于p1、P2两点，点P是线段p1P2的中点．设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2=
     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    过点M（-2，0）的直线m与椭圆
    x22
    +y2=1    交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，求k1k2的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    直线l与椭圆
    x2
    2
    +y2=1    交于不同的两点P1、P2，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2（O点为坐标原点），则k1•k2的值为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列五个命题：
    ①已知直线a，b和平面α，若a∥b，b∥α，则a∥α；
    ②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；
    ③双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0），则直线y=
    b
    a
    x+m（m∈R）与双曲线有且只有一个公共点；
    ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；
    ⑤过M（2，0）的直线l与椭圆
    x2
    2
    +y2=1交于P1P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2等于-
    1
    2
    ．
    其中，正确命题的序号为
    ④⑤
    ④⑤
    ．

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