已知函数，数列的项满足： ，（1）试求

（2） 猜想数列的通项，并利用数学归纳法证明.

【解析】第一问中，利用递推关系,

,   

第二问中，由（1）猜想得：然后再用数学归纳法分为两步骤证明即可。

解: (1) ,

,    …………….7分

（2）由（1）猜想得：

（数学归纳法证明）i) ,  ,命题成立

ii) 假设时，成立

则时，

                              

综合i),ii) : 成立

 

已知函数，，k为非零实数.

（Ⅰ）设t=k²,若函数f(x),g(x)在区间(0,+∞)上单调性相同，求k的取值范围;

（Ⅱ）是否存在正实数k，都能找到t∈[1,2],使得关于x的方程f(x)=g(x)在[1,5]上有且仅有一个实数根，且在[－5,－1]上至多有一个实数根.若存在，请求出所有k的值的集合；若不存在，请说明理由.

 

【解析】本试题考查了运用导数来研究函数的单调性，并求解参数的取值范围。与此同时还能对于方程解的问题，转化为图像与图像的交点问题来长处理的数学思想的运用。

 

已知函数，（），

（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值

（2）当时，若函数的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值。

【解析】（1）， 

∵曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线

∴，

∴

（2）令，当时，

令，得

时，的情况如下：

x
	+	0	-	0	+

所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为

当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上的最大值为，

当且，即时，函数在区间内单调递增，在区间上单调递减，在区间上的最大值为

当，即a>6时，函数在区间内单调递赠，在区间内单调递减，在区间上单调递增。又因为

所以在区间上的最大值为。

 

已知函数，．

（Ⅰ）若函数和函数在区间上均为增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若方程有唯一解，求实数的值．

【解析】第一问，   

当0<x<2时，，当x>2时，，

要使在(a,a+1)上递增，必须

如使在(a,a+1)上递增，必须，即

由上得出，当时，在上均为增函数

（Ⅱ）中方程有唯一解有唯一解

设  （x>0）

随x变化如下表

x
	-		+
		极小值

由于在上，只有一个极小值，的最小值为-24-16ln2，

当m=-24-16ln2时，方程有唯一解得到结论。

（Ⅰ）解： 

当0<x<2时，，当x>2时，，

要使在(a,a+1)上递增，必须

如使在(a,a+1)上递增，必须，即

由上得出，当时，在上均为增函数  ……………6分

（Ⅱ）方程有唯一解有唯一解

设  （x>0）

随x变化如下表

x
	-		+
		极小值

由于在上，只有一个极小值，的最小值为-24-16ln2，

当m=-24-16ln2时，方程有唯一解

 

已知函数，．

（1）设是函数的一个零点，求的值；

（2）求函数的单调递增区间．

【解析】第一问利用题设知．因为是函数的一个零点，所以即（

所以

第二问

当，即（）时，

函数是增函数，

故函数的单调递增区间是（）