矩形ABCO的面积为10，OA比OC大3，E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D，DF⊥AE于F．
（1）求OA、OC的长．
（2）求DF长；
（3）P为边BC上一动点，设△ABP的面积为x，△OPC的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（4）直线BC上是否存在点Q，使∠AQO=90°？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

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已知面积为4的△ABC的边长分别为BC=a，CA=b，AB=c，c＞b，AD是∠A的角平分线，点C′是点C关于直线AD的对称点，若△C′BD与△ABC相似，求△ABC的周长的最小值．

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阅卷须知：

1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．

2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

答 案

B

D

A

C

B

A

D

A

二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）

题 号

9

10

11

12

答 案

（或）

三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分）

13. 解：

                    …………………………………3分

      ．                                  …………………………………5分

14. 解：由不等式，得．        …………………………………1分

　　　  由不等式，得．          …………………………………2分

        ∴ 原不等式组的解集是．      …………………………………3分

        在数轴上表示为：

                                                                                                                           …………………………………5分

15. 解：去分母，得

       ．               …………………………………2分

去括号，整理，得

    ．                             

解得 ．                               …………………………………4分

经检验，是原方程的根．                …………………………………5分

所以，原方程的根为．

16．证明：∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ ，．

∴ ．       …………………2分

在和中，

∴ ≌．                       …………………………………4分

∴ ．                             …………………………………5分

17．解：

       ．                           …………………………………3分

∵ ，

∴ ．

即 ．            …………………………………5分

四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）

18. 解：（1）由题意得≌，所以，．

∵ 在中，，，

∴ ．

    ∴ ．即．            …………………………………1分

    在等腰梯形中，，，∴ ．

    ∴ ．                               …………………………………3分

   （2）由（1）得，．

        在中，，，，

        所以，．           …………………………………5分

19.（1）证明：如图，联结．                 …………………………………1分

    ∵ ，，

    ∴ ．

    ∴ 是等边三角形．

    ∴ ，．

    ∴ ．

    ∴ ．                          …………………………………2分

    所以，是⊙的切线．                   …………………………………3分

  （2）解：作于点．

    ∵ ，∴ ．

    又，，所以在中，．

    在中，∵ ，∴ ．

    由勾股定理，可求．

    所以，．          …………………………………5分

五、解答题（本题满分6分）

20. 解：

  （1）10%．          ……………………2分

  （2）340人，见右图．……………………4分

  （3）约660万人．    ……………………6分

六、解答题（共2个小题，第21题4分，第22题5分，共9分）

21. 解：（1）在抛物线中，令，得，

   解得或（）．所以，，．

   ∵ ，∴ ．

   所以，点的坐标为（，0），               …………………………………1分

         点的坐标为（，）．             …………………………………2分

  （2）的面积，所以，当时，．

                                              …………………………………4分

22. 解：（1）跳棋子跳过路径及各点字母如图．   

                                 ………………3分

  （2）跳跃15次后，停在处，

     过作，垂足为点，

     则；

         由，∴ ．

                                               …………………………………5分

七、解答题（本题满分7分）

23．（1）证明：设，，，与的面积分别为，，矩形的面积为．

由题意，得 ，，．

∴ ，，．

∴ ．

∴ 四边形的面积是定值．             …………………………………2分

   （2）解：由（1）可知，则．

  又∵ ，

  ∴ ．

  ∵ ，，

     ∴ ．

     ∴ ．                             …………………………………4分

   （3）解：①由题意知：．       …………………………………5分

   ②、两点坐标分别为，，

  ∴ ．

  ∴ ．

  ∴ ．

  ∴ 当时，有最大值．           …………………………………7分

八、解答题（本题满分7分）

24．解：（1）如图（1），当时，的边与⊙相切；

            如图（2），当时，的边与⊙相切；

            如图（3），当时，的边与⊙相切；

            如图（4），当时，的边所在直线与⊙相切．

                                               …………………………………4分

   （2）由（1），可知，当和时，半圆与直线围成的区域与

        三边围成的区域有重叠部分，如图（2）、（3）的阴影部分所示，重叠部分的面积分别为和．

                                           …………………………………7分

九、解答题（本题满分8分）

25．（1）证明：∵ ，∴ ．∴ ．

    又∵ ，∴ ．

    ∴ ．∴ ∽．   …………………………………2分

   （2）证明：如图，过点作，交于点，

    ∵ 是的中点，容易证明．

    在中，∵ ，∴ ．

    ∴ ．

    ∴ ．                        …………………………………5分

  （3）解：的周长，．

       设，则．

    ∵ ，∴ ．即．

    ∴ ．

    由（1）知∽，

    ∴ ．

    ∴ 的周长的周长．

    ∴ 的周长与值无关．               …………………………………8分