如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，
（1）求证：CE平分∠BCD；
（2）若DE=15，CE=20，求四边形ABCD的面积；
（3）在（2）的条件下，已知AB=24，求CD的值．（不得利用勾股定理求解）

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ABCD是一块四边形土地的示意图，如下左图，其中AD≠BC，EFG是流经这块土地的水渠（水渠的宽度不计），水渠左边属张家村的土地，水渠右边属李家村的土地.现乡政府决定在田地规划中需将流经这块土地的水渠取值，并且要求张、李两村的原土地面积不变，现有两个设计方案：
方案甲：如图甲所示，连结EG，过F作EG的平行线PH，分别交DC于P，交AB于H，连EH（或PG）则EH（或PG）为新水渠；
方案乙：如图乙所示，连结EG，过F作EG平行线PH，分别交DC于P，交AB于H，取EP的中点M，取GH的中点N，连结MN，则MN为新水渠，请你判断哪种方案正确，并证明它的正确性。

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如图（1），点E是正方形ABCD边AB上的一动点（不与A、B重合），四边形EFGB也是正方形．正方形BEFG、ABCD的边长分别为a、b，且（a＜b），设△AFC的面积为S．
（1）请证明S为定值；
（2）将图（1）中正方形BEFG绕点B顺时针转动45°，如图（2），求S值；
（3）当点E处在AB中点（即b=2a时），将正方形BEFG绕点B旋转任意角度，如图（3），请直接写出旋转过程中S的最大值为：

4a²（或b²）

4a²（或b²）

．

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如图（1），点E是正方形ABCD边AB上的一动点（不与A、B重合），四边形EFGB也是正方形．正方形BEFG、ABCD的边长分别为a、b，且（a＜b），设△AFC的面积为S．
（1）请证明S为定值；
（2）将图（1）中正方形BEFG绕点B顺时针转动45°，如图（2），求S值；
（3）当点E处在AB中点（即b=2a时），将正方形BEFG绕点B旋转任意角度，如图（3），请直接写出旋转过程中S的最大值为：______．

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如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC、BE，且AC和BE相交于点O．
（1）求证：四边形ABCE是菱形；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，过Q作QR⊥BD交BD于R．
①四边形PQED的面积是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由；
②以点P、Q、R为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形是否可能相似？若可能，请求出线段BP的长；若不可能，请说明理由．

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阅卷须知：

1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．

2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

答 案

B

D

A

C

B

A

D

A

二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）

题 号

9

10

11

12

答 案

（或）

三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分）

13. 解：

                    …………………………………3分

      ．                                  …………………………………5分

14. 解：由不等式，得．        …………………………………1分

　　　  由不等式，得．          …………………………………2分

        ∴ 原不等式组的解集是．      …………………………………3分

        在数轴上表示为：

                                                                                                                           …………………………………5分

15. 解：去分母，得

       ．               …………………………………2分

去括号，整理，得

    ．                             

解得 ．                               …………………………………4分

经检验，是原方程的根．                …………………………………5分

所以，原方程的根为．

16．证明：∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ ，．

∴ ．       …………………2分

在和中，

∴ ≌．                       …………………………………4分

∴ ．                             …………………………………5分

17．解：

       ．                           …………………………………3分

∵ ，

∴ ．

即 ．            …………………………………5分

四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）

18. 解：（1）由题意得≌，所以，．

∵ 在中，，，

∴ ．

    ∴ ．即．            …………………………………1分

    在等腰梯形中，，，∴ ．

    ∴ ．                               …………………………………3分

   （2）由（1）得，．

        在中，，，，

        所以，．           …………………………………5分

19.（1）证明：如图，联结．                 …………………………………1分

    ∵ ，，

    ∴ ．

    ∴ 是等边三角形．

    ∴ ，．

    ∴ ．

    ∴ ．                          …………………………………2分

    所以，是⊙的切线．                   …………………………………3分

  （2）解：作于点．

    ∵ ，∴ ．

    又，，所以在中，．

    在中，∵ ，∴ ．

    由勾股定理，可求．

    所以，．          …………………………………5分

五、解答题（本题满分6分）

20. 解：

  （1）10%．          ……………………2分

  （2）340人，见右图．……………………4分

  （3）约660万人．    ……………………6分

六、解答题（共2个小题，第21题4分，第22题5分，共9分）

21. 解：（1）在抛物线中，令，得，

   解得或（）．所以，，．

   ∵ ，∴ ．

   所以，点的坐标为（，0），               …………………………………1分

         点的坐标为（，）．             …………………………………2分

  （2）的面积，所以，当时，．

                                              …………………………………4分

22. 解：（1）跳棋子跳过路径及各点字母如图．   

                                 ………………3分

  （2）跳跃15次后，停在处，

     过作，垂足为点，

     则；

         由，∴ ．

                                               …………………………………5分

七、解答题（本题满分7分）

23．（1）证明：设，，，与的面积分别为，，矩形的面积为．

由题意，得 ，，．

∴ ，，．

∴ ．

∴ 四边形的面积是定值．             …………………………………2分

   （2）解：由（1）可知，则．

  又∵ ，

  ∴ ．

  ∵ ，，

     ∴ ．

     ∴ ．                             …………………………………4分

   （3）解：①由题意知：．       …………………………………5分

   ②、两点坐标分别为，，

  ∴ ．

  ∴ ．

  ∴ ．

  ∴ 当时，有最大值．           …………………………………7分

八、解答题（本题满分7分）

24．解：（1）如图（1），当时，的边与⊙相切；

            如图（2），当时，的边与⊙相切；

            如图（3），当时，的边与⊙相切；

            如图（4），当时，的边所在直线与⊙相切．

                                               …………………………………4分

   （2）由（1），可知，当和时，半圆与直线围成的区域与

        三边围成的区域有重叠部分，如图（2）、（3）的阴影部分所示，重叠部分的面积分别为和．

                                           …………………………………7分

九、解答题（本题满分8分）

25．（1）证明：∵ ，∴ ．∴ ．

    又∵ ，∴ ．

    ∴ ．∴ ∽．   …………………………………2分

   （2）证明：如图，过点作，交于点，

    ∵ 是的中点，容易证明．

    在中，∵ ，∴ ．

    ∴ ．

    ∴ ．                        …………………………………5分

  （3）解：的周长，．

       设，则．

    ∵ ，∴ ．即．

    ∴ ．

    由（1）知∽，

    ∴ ．

    ∴ 的周长的周长．

    ∴ 的周长与值无关．               …………………………………8分