题目列表(包括答案和解析)
以
表示值域为R的函数组成的集合，
表示具有如下性质的函数
组成的集合：对于函数，存在一个正数
，使得函数的值域包含于区间
。例如，当
，
时，
，
.现有如下命题：
①设函数
的定义域为
，则“
”的充要条件是“
，
，
”；
②若学科网函数
，则有最大值和最小值；
③若函数，
的定义域相同，且，
，则
；
④若函数
（
，
）有最大值，则.
其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）
以
表示值域为R的函数组成的集合，
表示具有如下性质的函数
组成的集合：对于函数，存在一个正数
，使得函数的值域包含于区间
.例如，当
，
时，
，
.现有如下命题：
①设函数
的定义域为
，则“
”的充要条件是“
，
，
”；
②学科网函数
的充要条件是有最大值和最小值；
③若函数，
的定义域相同，且，
，则
；
④若函数
（
，
）有最大值，则.
其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）
（本题满分14分）
已知函数
.
（Ⅰ）若
为
上的单调函数，试确定实数
的取值范围;[来源:学_科_网Z_X_X_K]
（Ⅱ）求函数在定义域上的极值；
（Ⅲ）设
,求证：
.
（本小题满分13分）某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．
（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；[来源:学§科§网]
（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？
一、选择题（每小题5分，共50分）
二、填空题（每小题4分，共28分）
三、解答题
18.解：（Ⅰ）由已有
(4分)
(6分)
（Ⅱ）由（1）
且
(8分)
所以
（10分）
（12分）
（14分）
19.解：（Ⅰ）同学甲同学恰好投4次达标的概率
(4分)
（Ⅱ）
可取的值是
（6分）
（8分）
（10分）
的分布列为
3
4
5
（12分）
所以的数学期望为
（14分）
20.解:（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，BC
平面AC，∴PA⊥BC
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC （4分）
（Ⅱ）取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE
建立如图所示空间直角坐标系，则
A（0，，0，0），P（0，0，
），C（
，0），D（
，0）
，
，
(6分)
易求
为平面PAC的一个法向量.
为平面PDC的一个法向量
（9分）
∴cos
故二面角D-PC-A的正切值为2. (11分)
（Ⅲ）设
,则
,
解得点
,即
（13分）
由
得
(不合题意舍去)或
所以当
为
的中点时,直线
与平面
所成角的正弦值为
（15分）
21.解：（Ⅰ）设直线
的方程为：
由
得
，所以的方程为
(4分)
由
得
点的坐标为
.
可求得抛物线的标准方程为
.
（6分）
（Ⅱ）设直线
的方程为
，代入抛物线方程并整理得
(8分)
设
则
设
，则
(11分)
当
时上式是一个与
无关的常数.
所以存在定点
，相应的常数是
.
(14分)
22．解：（Ⅰ）当
时
(2分)
在
上递增，在
上递减
所以
在0和2处分别达到极大和极小，由已知有
且
，因而
的取值范围是
.
(4分)
（Ⅱ）当
时，
即
|
(7分)
则
，
在
上递减，在
上递增.
上递增
故
(10分)
⊥
，即
=
，
（12分）
，
(x)=0的两根可得，
≥2
，这与
与直线
不可能垂直.
(15分)