（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设的中点为，求证：平面；
（Ⅲ）求四棱锥的体积．

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（1）求证：平面平面；
（2）求正方形的边长；
（3）求二面角的平面角的正切值．

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（1）求证：平面EFG∥平面CB₁D₁；
（2）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁  ；
（3）求异面直线FG、B₁C所成的角

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（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；
（2）求二面角C-AB-D的大小。

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（Ⅰ）如图1，A，B，C是平面内的三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，试证明：存在实数λ，使得：

PC

=λ

PA

+(1-λ)

PB

．
（Ⅱ）如图2，设G为△ABC的重心，PQ过G点且与AB、AC（或其延长线）分别交于P，Q点，若

AP

=m

AB

，

AQ

=n

AC

，试探究：

1

m

+

1

n

的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

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一、选择题（每小题5分，共50分）

二、填空题（每小题4分，共28分）

三、解答题

18.解：（Ⅰ）由已有

                                    (4分)

                                            (6分)

（Ⅱ）由（1）且                                 (8分)

所以              （10分）

                                                      （12分）

                                  （14分）

19.解：（Ⅰ）同学甲同学恰好投4次达标的概率           (4分)

（Ⅱ）可取的值是

                                              （6分）

                                            （8分）

                                              （10分）

的分布列为

3

4

5

                                                                      （12分）

所以的数学期望为                   （14分）

20.解:（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，BC平面AC，∴PA⊥BC

∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC                （4分）

（Ⅱ）取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE

建立如图所示空间直角坐标系，则

A（0，，0，0），P（0，0，），C（，0），D（，0）

，，                  (6分)

易求为平面PAC的一个法向量.

为平面PDC的一个法向量                                  （9分）

∴cos

故二面角D-PC-A的正切值为2.  (11分)

（Ⅲ）设,则

   ,

解得点,即   （13分）

由得(不合题意舍去)或

所以当为的中点时,直线与平面所成角的正弦值为   （15分）

21.解：（Ⅰ）设直线的方程为：

由得，所以的方程为                     (4分)

由得点的坐标为.

可求得抛物线的标准方程为.                                       （6分）

（Ⅱ）设直线的方程为，代入抛物线方程并整理得    (8分)     

设则

设，则

                                      (11分)

当时上式是一个与无关的常数.

所以存在定点，相应的常数是.                                     (14分)

22．解：（Ⅰ）当时               (2分)

在上递增，在上递减

所以在0和2处分别达到极大和极小，由已知有

且，因而的取值范围是.                                   (4分)

（Ⅱ）当时，即