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已知圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为

2

2

的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ与圆O相切；
（3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

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1．C   2．A    3．A    4．D   5. D   6．B    7. B    8. A    9. B   10．D

11.      12.  2     13.      14.     15.

16．解：（1）∵_，∴，

 ∵，∴, 即边的长度为。

（2）由_，得…………①

     _，即…………②

由①②得，由正弦定理，∴，即证。

17． 解：（1）∵函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当且。

依条件可知试验的全部结果为，即

共15个整点。

所求事件为，即共5个整点，∴所求事件

的概率为。

（2）随机变量的取值有：2，3，4，5，6。的随机分布列为：

2

3

4

5

6

随机变量的期望。

18．解法一：（1）易求，从而，由三垂线定理知：。

（2）法一：易求由勾股定理知，设点在面内的射影为，过作于，连结，则为二面角的平面角。在中由面积法易求，由体积法求得点到面的距离是

，所以，所以求二面角的大小为。

法二：易求由勾股定理知，过作于，又过作交于，连结。则易证为二面角的平面角。在中由面积法易求，从而于是，所以

，在中由余弦定理求得。再在中由余弦定理求得。最后在中由余弦定理求得，所以求二面角的大小为。

（3）设AC与BD交于O，则OF//CM，所以CM//平面FBD，当P点在M或C时，三棱锥P―BFD的体积的最小。。

解法二：空间向量解法，略。

19.解：（1）

当时，

当时，此时函数递减；当时，此时函数递增；当时，取极小值，其极小值为0。

（2）由（1）可知函数和的图像在处有公共点，因此若存在和的分界直线，则该直线过这个公共点。设分界直线的斜率为则直线方程为即由可得当时恒成立

由得。

下面证明当时恒成立。

令则

当时，。当时，此时函数递增；当时，此时函数递减；当时，取极大值，其极大值为0。

从而即恒成立。

函数和存在唯一的分界直线。

20．解：（1）设椭圆的标准方程为，则：

，从而：，故,所以椭圆的标准方程为。

（2）设，则圆方程为,与圆联立消去得的方程为，过定点。

（3）将与椭圆方程联立成方程组消去得：

,设，则。

，

所以。

故存在定点，使恒为定值。

21．解：（1）法一：数学归纳法；

法二：

所以为首项为公比为2的等比数列，

，即证。

法三：，两边同除以，转化为叠加法求数列通项类型。

（2）法一：容易证明单调递增，。由函数割线斜率与中点切线斜率的关系想到先证，即证，即证

。令下证。事实上，构造函数，则

，，所以在上单调递增，故，则，即证。

于是由有，

（因为）。

法二：要证，即证

，联想到熟悉的不等式（证明如法一）。令，则 ，即证

，下同方法一。

法三：联想到熟悉的不等式（证略）。令，则

，即证而，但验算当时不成立。故单独验证时原不等式成立，经验证成立。下用数学归纳法证成立。

由，则，作差有。

①当时，成立。

②假设时，，则

当时，，

下证，显然。所以，命题对时成立。综上①②即证。