[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵A有特征值λ₁=3及其对应的一个特征向量α1=

1 1

，特征值λ₂=-1及其对应的一个特征向量α2=

1 -1

，求矩阵A的逆矩阵A^-1．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，

π

2

)，直线l过点A且倾斜角为

π

4

，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c，d都是正数，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求证：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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一．选择题

1.B    2.B  3. A   4.A   5.C   6. D  7.B   8.D   9.B  10.A  11.C   12.C

二．填空题

13.(1, )∪( ,2)       14.      15.      16. ②③④

三.解答题

17.解：（1）两学生成绩绩的茎叶图如图所示……………4分    

(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：

甲: 512  522  528  534  536  538  541  549   554  556   

乙:515  521  527  531  532  536   543  548   558   559   

从以上排列可知甲学生成绩的中位数为……6分  

 乙学生成绩的中位数为       …………8分

甲学生成绩的平均数为:

……………10分   

乙学生成绩的平均数为:

……………12分     

18.解:（1）∵

 ∴，

 ∴，∴ ∵  ∈(0,π)  ∴ ……4分

（2）∵ ∴，即                    ①   …………6分

 又 ∴，即    ②   …………8分

 由①②可得，∴     ………………………………………10分

 又∴，     ……………………………………12分

高三数学试题答案（文科）（共4页）第1页

19.（I）设是的中点，连结，则四边形为正方形，……………2分

．故，，，，即．

………………………4分

又，平面，…………………………6分

（II）证明：DC的中点即为E点，    ………………………………………………8分

连D₁E,BE   ∴四边形ABED是平行四边形，

∴ADBE,又ADA₁D₁    A₁D₁    ∴四边形A₁D₁EB是平行四边形  D₁E//A₁B ,

∵D₁E平面A₁BD   ∴D₁E//平面A₁BD。……………………………………………12分

20.解：（1）设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,则

得a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.  ……………………………………3分

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）………6分

（2）由（1）得知＝＝，……8分

故T_n＝＝＝（1－）………10分

因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足

≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.  ………………………12分