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某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数    学	1.3	12.3	25.7	36.7	50.3	67.7	49.0	52.0	40.0	34.3
物    理	2.3	9.7	31.0	22.3	40.0	58.0	39.0	60.7	63.3	42.7
学生序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数    学	78.3	50.0	65.7	66.3	68.0	95.0	90.7	87.7	103.7	86.7
物    理	49.7	46.7	83.3	59.7	50.0	101.3	76.7	86.0	99.7	99.0

学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．
（1）对名次优秀者赋分2，对名次不优秀者赋分1，从这20名学生中随机抽取2名，用ξ表示这两名学生数学科得分的和，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系？（下面的临界值表和公式可供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=，其中n=a+b+c+d）

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某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数    学	1.3	12.3	25.7	36.7	50.3	67.7	49.0	52.0	40.0	34.3
物    理	2.3	9.7	31.0	22.3	40.0	58.0	39.0	60.7	63.3	42.7
学生序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数    学	78.3	50.0	65.7	66.3	68.0	95.0	90.7	87.7	103.7	86.7
物    理	49.7	46.7	83.3	59.7	50.0	101.3	76.7	86.0	99.7	99.0

学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．
（1）对名次优秀者赋分2，对名次不优秀者赋分1，从这20名学生中随机抽取2名，用ξ表示这两名学生数学科得分的和，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系？（下面的临界值表和公式可供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=，其中n=a+b+c+d）

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一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

A

B

A

D

D

B

C

C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）

（9）    (10)(2,－1)   (11),或   （12）    (13)（0，1），（x－1）²+(y－3)²=1

（14）10，4n－2

三、解答题（本大题共6小题,共80分.）

（15）（共12分）
解：（Ⅰ）∵p = (sinx,cosx+sinx)，q=(2cosx,cosx－sinx),
          ∴f(x) = p?q=(sinx,cosx+sinx)?(2cosx,cosx－sinx)

                     =2sinxcosx+cos²x－sin²x………………………………………………2分

               =sin2x+cos2x……………………………………………………………4分

∴f() =…………………………………………………………………5分

又f(x) = sin2x+cos2x = ………………………………………6分

∴函数f(x)的最大值为. ……………………………………………………7分

当且仅当x=+k(kZ)时，函数f(x)取得最大值.
（Ⅱ）由2－≤2x+≤2+  (kZ) …………………………………9分

得－≤x≤+(kZ)， …………………………………………11分

∴函数f(x)的单调递增区间为［－,+］  (k∈Z). …………12分

(16)(共14分)

解法一:

解：（Ⅰ）∵SA⊥AB,SA⊥AC,且AB∩AC=A. ∴SA⊥平面ABC.…………………………2分

   ∴AC为SC在平面ABC内的射影.  ……………………………………………3分

又AC⊥BC，∴BC⊥SC……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由(Ⅰ)BC⊥SC，又BC⊥AC，

∴∠SCA为所求二面角的平面角…………………………………………………………6分

又∵SB=4，BC=4，

∴SC=4.    ∵AC=2，∴∠SCA=60°…………………………………………………9分

即二面角A－BC－S的大小为60°

（Ⅲ）过A作AD⊥SC于D，连结BD，

由（Ⅱ）得BC⊥平面SAC，

又BC平面SBC，

∴平面SAC⊥平面SBC，

且平面SAC平面SBC=SC.

∴AD⊥平面SBC.

∴BD为AB在平面SBC内的射影.

∴∠ABD为AB与平面SBC所成角.…………………………11分

在Rt△ABC中，AB=，

在Rt△SAC中，SA==2，

AD=.

∴sinABD=.……………………………………………………………………13分

所以直线AB与平面SBC所成角的大小为arcsin.…………………………………14分

解法二:

解：(Ⅰ)由已知∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，

以C点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C － xyz.

则A(0，2，0)，B（4，0，0），C（0，0，0），S（0，2，）.……………………………2分

则=（0，－ 2，），

=（－4，0，0）.
      ∴?=0.

∴SC⊥BC.…………………………………………………………4分（Ⅱ）∵∠SAB=∠SAC=90°，

∴SA⊥平面ABC.

∴=(0，0，)是平面ABC的法

向量.…………………………………………………………………5分

设侧面SBC的法向量为

n=(x，y，z)，

=（0，－ 2，－），=（－4,0,0）.
      ∵?n=0，?n=0，

∴∴x=0.令z=1则y=，

则平面SBC的一个法向量n=(0，，1).……………………………………………7分

cos,n=       =.……………………………………………………8分

即二面角A－BC－S的大小为60°.……………………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知n=(0，－，1)是平面SBC的一个法向量.……………………………10分

又=(4，－2，0)，

∴cos，n=         =.…………………………………………13分

所以直线AB与平面SBC所成角为arcsin.…………………………………………14分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）设乙闯关成功的概率为P₁，丙闯关成功的概率为P₂………………………1分

         因为乙丙独立闯关，根据独立事件同时发生的概率公式得：

………………………………………………………………………3分

解得P₁=，P₂=.…………………………………………………………5分

答：乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为.

（Ⅱ）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一个没过关.

设“团体总分为4分”为事件A，………………………………………………6分

则P（A）=（1－）.

………………………………………………………………………………………9分

答：团体总分为4分的概率为.

（Ⅲ）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，

设“团体总分不小于4分”为事件B，…………………………………………10分

由(Ⅱ)知团体总分为4分的概率为.

团体总分为6分，即3人都闯关成功的概率为 ………………12分

所以参加复赛的概率为P（B）=.…………………………………13分

答：该小组参加复赛的概率为.

(18)（共13分）

解：（Ⅰ）第5行第5个数是29.……………………………………………………………2分

 （Ⅱ）由f(1)=n²_，得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n².…………………………………………………3分

设S_n是数列{a_n}的前n项和，∴S_n=n².……

当n=1时，a₁=S₁=1,…………………………………………………………………5分

当n≥2时,a_n=S_n－S_n－1=n²－(n－1)²=2n－1.………………………………………6分

又当n=1时，2n－1=1=a₁,

∴a_n=2n－1. ………………………………………………………………………8分

即数列{a_n}的通项公式是a_n=2n－1(n=1，2，3，…).

（Ⅲ）由(Ⅱ)知数列{a_n}是首项为1,公差为2的等差数列.……………………………9分

∵前m－1行共有项1+2+3+…+(m－1)= ，

∴第m行的第一项为=2×－1=m²－m+1.………………11分

∴第m行构成首项为m²－m+1，公差为2的等差数列，且有m项.

∴T_m=（m²－m+1）×m+×2=m³.……………………………………13分

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）设Q（x,y），由已知得点Q在FP的中垂线上，……………………………1分

 即|QP|=|QF|. ……………………………………………………………………2分

 根据抛物线的定义知点Q在以F为焦点，直线m为准线的抛 物线上，…4分

 所以点Q的轨迹方程为y²=4x(x≠0). …………………………………………6分

（注：没有写出x≠0扣1分）

(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，点A坐标为（2，），点B坐标为（2，－），

   ∵点F坐标为(1，0)，可以推出∠AFB≠…………………………………8分

    当直线l的斜率存在时，

    设l的方程为y=k(x－2)，它与抛物线y²=4x的交点坐标分别为A(x₁,y₁)，

B(x₂,y₂)

由

得x₁x₂=4，y₁y₂=－8.……………………………………10分

假定θ=，则有cosθ=,

如图，即，           （*）

由定义得|AF|=x₁+1,|BF|=x₂+1.

从而有|AF|²+|BF|²－|AB|²

=(x₁+1)²+(x₂+1)²－(x₁－x₂)²－(y₁－y₂)²

=－2(x₁+x₂)－6

∴|AF|?|BF|=（x₁+1）(x₂+1)=x₁x₂+x₁+x₂+1=x₁+x₂+5.…………………………12分

将上式代入(*)得,即x₁+x₂+1=0.

这与x₁＞0且x₂＞0相矛盾.

综上,θ不能等于.…………………………………………………………14分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）=－3x²+2ax.………………………………………………………………1分

           据题意，=tan=1, ∴－3+2a=1，即a=2.……………………………3分

     （Ⅱ）由(Ⅰ)知f(x)=x³+2x²4,

则f′（x）=3x²+4x.

x

1

（1,0）

0

（0，1）

1

f′（x）

7

0

+

1

f（x）

1

4

3

…………………………………………………………………………………5分

∴对于m[1,1],f（m）的最小值为f（0）=4……………………………6分

∵f′（x）=3x²+4x的对称轴为x=,且抛物线开口向下，

∴x[1，1]时，f′（x）最小值为f′（1）与f′（1）中较小的.

∵f′（1）=1, f′（1）=7,

∴当x[1，1]时，f′（x）最小值为7.

∴当n[1，1]时，f′（n）最小值为7.……………………………………7分∴f（m）+ f′（n）的最小值为11.……………………………………………8分（Ⅲ）∵f′（x）=3x（x）.

①若a≤0，当x＞0时，f′（x）＜0, ∴f（x）在[0，+∞]上单调递减.

又f（0）=4，则当x＞0时, f（x）＜4.

∴当a≤0时，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0.…………………………………11分

②若a＞0，则当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0.

从而f（x）在（0, ]上单调递增，在[，+∞)上单调递减.

∴当x（0，+∞）时，f（x）_max=f（）=+4=4.

据题意，4＞0，即a³＞27. ∴a＞3. …………………………………14分

综上，a的取值范围是（3，+∞）.

说明：其他正确解法按相应步骤给分.