题目列表(包括答案和解析)
如图，在三棱柱
中，
侧面
，
为棱
上异于
的一点，
，已知
，求：
（Ⅰ）异面直线
与
的距离；
（Ⅱ）二面角
的平面角的正切值.
【解析】第一问中，利用建立空间直角坐标系
解：（I）以B为原点，
、
分别为Y,Z轴建立空间直角坐标系.由于，
在三棱柱
中有
,
设
又
侧面
，故
. 因此
是异面直线
的公垂线，则
，故异面直线的距离为1.
（II）由已知有
故二面角
的平面角
的大小为向量
与
的夹角.
如图，在三棱柱ADF-BCE中，侧棱AB⊥底面ADF，底面ADF是等腰直角三角形，且AD=DF=a，AB=2a，M、G分别是AB、DF的中点．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E、F、G分别是线段AC1、A1C1、BB1的中点，求证：如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC,AC⊥BC,E、F分别在线段
上，B1E=3EC1，AC＝BC＝CC1＝4.
（1）求证：BC⊥AC1；
（2）试探究：在AC上是否存在点F，满足EF／／平面A1ABB1，若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．
上，B1E=3EC1，AC＝BC＝CC1＝4.
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．B 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D 7．D 8．C 9．B 10．A 11．D 12．A
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．
14．
15．
16．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：(Ⅰ)
=
…………………………………………………3分
函数
的周期
，
由题意可知
………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
而
………………………………………8分
由余弦定理知
又
，
…………………………………………………………………12分
18．证明：(Ⅰ)
面
面
面…………………………………………………………………………4分
(Ⅱ)
面
面
平面
平面…………………………………………8分
(Ⅲ)连接BE，易证明
，由(2)知
面
平面………………………………………………………………………12分
19．解：(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件A．因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的．其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以
P(A)=
………………………………………………………………………………４分
(Ⅱ)由数据求得
由公式求得
再由
，得
所以y关于x的线性回归方程为
………8分
(Ⅲ)当
时，
同样，当
时，
所以，该小组所得线性回归方程是理想的………………………………………………12分
20．(Ⅰ)
由题意得
，解得
………………………2分
所以
令
则
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减……6分
(Ⅱ)因存在
使得不等式
成立
故只需要的最大值
即可
①
若
，则当
时，
在
单调递增
当时，
当时，不存在使得不等式成立…………………………9分
②
当
时，
随x的变化情况如下表：
x
+
0
-
ㄊ
ㄋ
当
时，
由
得
综上得，即a的取值范围是
…………………………………………………12分
解法二：根据题意，只需要不等式
在上有解即可，即
在上有解，即不等式
在上有解即可……………………………9分
令
，只需要
，而
故，即a的取值范围是………………………………………………………12分
21．因
①
时
②
由①－②得
………………………………4分
又
得
，故数列
是首项为1，公比
的等比数列
………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)假设满足题设条件的实数k，则
………8分
由题意知，对任意正整数n恒有
又数列
单调递增
所以，当
时数列中的最小项为
，则必有
，则实数k最大值为1…………12分
22．解：(Ⅰ)由椭圆的方程知
点
设F的坐标为
是⊙M的直径，
得
椭圆的离心率
…………………………………………6分
(Ⅱ)
⊙M过点F,B,C三点，圆心M既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为
①
BC的中点为
BC的垂直平分线方程为
②
由①②得，
即
在直线
上，
由
得
椭圆的方程为
…………………………………………………………14分
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