4．已知两点M且点P使成公差小于零的等差数列. (Ⅰ)点P的轨迹是什么曲线? (Ⅱ)若点P坐标为.为的夹角.求tanθ. 例5．如图所示.已知抛物线y2＝4px(p＞0).O为顶点.A.B为抛物——青夏教育精英家教网—

4．已知两点M且点P使成公差小于零的等差数列. (Ⅰ)点P的轨迹是什么曲线? (Ⅱ)若点P坐标为.为的夹角.求tanθ. 例5．如图所示.已知抛物线y2＝4px(p＞0).O为顶点.A.B为抛物线上的两动点.且满足OA⊥OB.如果OM⊥AB于M点.求点M的轨迹方程. ［剖析］点M是OM与AB的交点.点M随着A.B两点的变化而变化.而A.B为抛物线上的动点.点M与A.B的直接关系不明显.因此需引入参数. ［解］解法一:设M(x0.y0).则kOM=.kAB=-. 直线AB方程是y=-(x-x0)+y0.由y2=4px可得x=.将其代入上式.整理.得 x0y2-(4py0)y-4py02-4px02=0. ① 此方程的两根y1.y2分别是A.B两点的纵坐标.∴A(.y1).B(.y2). ∵OA⊥OB.∴kOA·kOB=-1.∴·=-1.∴y1y2=-16p2. 根据根与系数的关系.由①可得y1·y2=.∴=16p2. 化简.得x02+y02-4px0=0.即x2+y2-4px=0为所求. ∴点M的轨迹是以(2p.0)为圆心.以2p为半径的圆.去掉坐标原点. 解法二:设A.B两点坐标为A(pt12.2pt1).B(pt22.2pt2). ∴kOA=.kOB=.kAB=.∵OA⊥OB.∴t1·t2=-4. ∴AB方程是y-2pt1=(x-pt12). ① 直线OM的方程是y=-x. ② ①×②.得(px)t12+2pyt1-(x2+y2)=0. ③ ∴直线AB的方程还可写为y-2pt2=(x-pt22). ④ 由②×④.得(px)t22+(2py)t2-(x2+y2)=0. ⑤ 由③⑤可知t1.t2是方程(px)t2+(2py)t2-(x2+y2)=0的两根. 由根与系数的关系可得t1t2=.又t1·t2=-4. ∴x2+y2-4px=0为所求点M的轨迹方程. 故M的轨迹是以(2p.0)为圆心.以2p为半径的圆.去掉坐标原点. 解法三:设M(x.y).直线AB方程为y=kx+b.由OM⊥AB得k=-. 由y2=4px及y=kx+b消去y.得k2x2+x(2kb-4p)+b2=0. 所以x1x2=.消去x.得ky2-4py+4pb=0.所以y1y2=.由OA⊥OB. 得y1y2=-x1x2.所以=-.b=-4kp. 故y=kx+b=k(x-4p).用k=-代入.得x2+y2-4px=0(x≠0). 解法四:设点M的坐标为(x.y).直线OA的方程为y=kx. 解得A点的坐标为(.). 显然k≠0.则直线OB的方程为y=-x. 由 y=kx. y2=4px. 类似地可得B点的坐标为(4pk2.-4pk). 从而知当k≠±1时. kAB== 故得直线AB的方程为y+4pk=(x-4pk2). 即(-k)y+4p=x. ① . 直线OM的方程为y=-(-k)x. ② 可知M点的坐标同时满足①②.由①及②消去k便得4px=x2+y2.即(x-2p)2+y2=4p2.但x≠0.当k=±1时.容易验证M点的坐标仍适合上述方程. 故点M的轨迹方程为(x-2p)2+y2=4p2(x≠0). 它表示以点(2p.0)为圆心.以2p为半径的圆. ［警示］本题考查了交轨法.参数法求轨迹方程.涉及了类比.分类讨论等数学方法.消参时又用到了整体思想法.对含字母的式子的运算能力有较高的要求.同时还需要注意轨迹的“完备性和纯粹性 .此题是综合考查学生能力的一道好题. ［变式训练］【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知两点M(－1,0)，N(1,0) ,并且点P使·，·，·成公差小于0的等差数列．点P的轨迹是什么曲线？