定积分的概念我们先来看一个实际问题---求曲边梯形的面积. 设曲边梯形是有连续曲线y=f(x).x轴与直线x=a.x=b所围成.如下图所示: 现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法.但是此图形有一边是一条曲线.该如何求呢? 我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动.而且它的高是连续变化的.因此在很小的一段区间的变化很小.近似于不变.并且当区间的长度无限缩小时.高的变化也无限减小.因此.如果把区间[a,b]分成许多小区间.在每个小区间上.用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高.我们再根据矩形的面积公式.即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值.从而求出整个曲边梯形的近似值. 显然:把区间[a,b]分的越细.所求出的面积值越接近于精确值.为此我们产生了定积分的概念. 定积分的概念设函数f(x)在[a,b]上有界.在[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0<x1<...<xn-1<xn=b 把区间[a,b]分成n个小区间 [x0.x1]....[xn-1,xn], 在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi. 并作出和. 如果不论对[a,b]怎样分法.也不论在小区间上的点ξi怎样取法.只要当区间的长度趋于零时.和S总趋于确定的极限I. 这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分. 记作. 即: 关于定积分的问题我们有了定积分的概念了.那么函数f(x)满足什么条件时才可积? 定理在区间[a,b]上连续.则f(x)在区间[a,b]上可积. 在区间[a,b]上有界.且只有有限个间断点.则f(x)在区间[a,b]上可积. 定积分的性质性质得定积分等于它们的定积分的和(差). 即: 性质(2):被积函数的常数因子可以提到积分号外面. 即: 性质(3):如果在区间[a,b]上.f.则≤ :设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值.则 m(b-a)≤≤M:如果f(x)在区间[a,b]上连续.则在积分区间[a,b]上至少存在一点ξ.使下式成立: =f 注:此性质就是定积分中值定理. 微积分积分公式积分上限的函数及其导数设函数f(x)在区间[a,b]上连续.并且设x为[a,b]上的一点.现在我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分,我们知道f(x)在[a,x]上仍旧连续.因此此定积分存在. 如果上限x在区间[a,b]上任意变动.则对于每一个取定的x值.定积分有一个对应值.所以它在[a,b]上定义了一个函数.记作φ(x): 注意:为了明确起见.我们改换了积分变量(定积分与积分变量的记法无关) 定理在区间[a,b]上连续.则积分上限的函数在[a,b]上具有导数. 并且它的导数是 :如果函数f(x)在区间[a,b]上连续.则函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数. 注意:定理(2)即肯定了连续函数的原函数是存在的.又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 牛顿--莱布尼兹公式定理是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数.则注意:此公式被称为牛顿-莱布尼兹公式.它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系. 它表明:一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数再去见[a,b]上的增量.因此它就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法. 例题:求解答:我们由牛顿-莱布尼兹公式得: 注意:通常也把牛顿--莱布尼兹公式称作微积分基本公式. 定积分的换元法与分部积分法定积分的换元法我们知道求定积分可以转化为求原函数的增量.在前面我们又知道用换元法可以求出一些函数的原函数.因此.在一定条件下.可以用换元法来计算定积分. 定理:设函数f(x)在区间[a,b]上连续,函数g(t)在区间[m,n]上是单值的且有连续导数,当t在区间[m,n]上变化时.x=g(t)的值在[a,b]上变化.且g=b,则有定积分的换元公式: 例题:计算解答:设x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时.t=0,当x=a时.t=π/2.于是: 注意:在使用定积分的换元法时.当积分变量变换时.积分的上下限也要作相应的变换. 定积分的分部积分法计算不定积分有分部积分法.相应地.计算定积分也有分部积分法. 设u在区间[a,b]上具有连续导数u''=u'v+uv',分别求此等式两端在[a,b]上的定积分.并移向得: 上式即为定积分的分部积分公式. 例题:计算解答:设.且当x=0时.t=0,当x=1时.t=1.由前面的换元公式得: 再用分部积分公式计算上式的右端的积分.设u=t,dv=etdt,则du=dt,v=et.于是: 故: 广义积分在一些实际问题中.我们常遇到积分区间为无穷区间.或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分.它们已不属于前面我们所学习的定积分了.为此我们对定积分加以推广.也就是---广义积分. 一:积分区间为无穷区间的广义积分设函数f上连续.取b>a.如果极限存在. 则此极限叫做函数f上的广义积分. 记作:. 即:=. 此时也就是说广义积分收敛.如果上述即先不存在.则说广义积分发散.此时虽然用同样的记号.但它已不表示数值了. 类似地.设函数f(x)在区间(-∞.b]上连续.取a<b.如果极限存在. 则此极限叫做函数f(x)在无穷区间(-∞.b]上的广义积分. 记作:. 即:=. 此时也就是说广义积分收敛.如果上述极限不存在.就说广义积分发散. 如果广义积分和都收敛.则称上述两广义积分之和为函数f上的广义积分. 记作:. 即:= 上述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分. 例题:计算广义积分解答: 二:积分区间有无穷间断点的广义积分设函数f(x)在(a,b]上连续.而.取ε>0.如果极限存在.则极限叫做函数f(x)在(a,b]上的广义积分. 仍然记作:. 即:=. 这时也说广义积分收敛.如果上述极限不存在.就说广义积分发散. 类似地.设f上连续.而.取ε>0.如果极限存在. 则定义=, 否则就说广义积分发散. 又.设f(x)在[a,b]上除点c外连续.而.如果两个广义积分和都收敛. 则定义:=+. 否则就说广义积分发散. 例题:计算广义积分解答:因为.所以x=a为被积函数的无穷间断点.于是我们有上面所学得公式可得: 【查看更多】

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定积分的大小