参数对函数单调性的影响 例10.设函数.其中. (Ⅰ)当时.判断函数在定义域上的单调性, (Ⅱ)求函数的极值点, (Ⅲ)证明对任意的正整数.不等式都成立. 分析:先求得函数的定义域.再通过判断导函数的正负来确定函数的单调性.函数的单调性是在的前提下完成的.由中求函数的极值点需要对的取值以为界限分类判断.另外还要注意到函数的定义域.需要对求出的极值点是否在定义域内作出判断.(Ⅲ)可通过观察不等式与所给函数的关系.就不难发现它们之间的联系.实质上当.时..需要构造函数即可. 解:(I) 函数的定义域为. . 令.则在上递增.在上递减. .当时.. 在上恒成立. 即当时,函数在定义域上单调递增. (II)分以下几种情形讨论:知当时函数无极值点. (2)当时..时. 时.时.函数在上无极值点. (3)当时.解得两个不同解.. 当时... 此时在上有唯一的极小值点. 当时. 在都大于0 .在上小于0 . 此时有一个极大值点和一个极小值点. 综上可知.时.在上有唯一的极小值点, 时.有一个极大值点和一个极小值点, 时.函数在上无极值点. (III) 当时. 令则在上恒正. 在上单调递增.当时.恒有. 即当时.有. 对任意正整数.取得 评注:本题考查函数的单调性.导数的应用.不等式的证明方法.求导是判断函数的单调性和求极值的最有效的方法.可知分类的标准为(III)构造新函数为证明不等式“服务 .构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系.注意参数的取值范围对函数的单调性的影响.必要时要进行分类讨论. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

(本小题满分12分)

已知点,过点作抛物线的切线,切点在第二象限,如图.

(Ⅰ)求切点的纵坐标;

(Ⅱ)若离心率为的椭圆  恰好经过切点,设切线交椭圆的另一点为,记切线的斜率分别为,若,求椭圆方程.

21(本小题满分12分)

已知函数 .

(1)讨论函数的单调性;

(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;

(3)证明:.

22.选修4-1:几何证明选讲

如图,是圆的直径,是弦,的平分线交圆于点,交的延长线于点于点

(1)求证:是圆的切线;

(2)若,求的值。

23.选修4—4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,直线过点且倾斜角为,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线相交于两点;

(1)若,求直线的倾斜角的取值范围;

(2)求弦最短时直线的参数方程。

24. 选修4-5 不等式选讲

已知函数

   (I)试求的值域;

   (II)设,若对,恒有成立,试求实数a的取值范围。

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