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    题型1:共线.共点和共面问题 例1．(1)如图所示.平面ABD平面BCD ＝直线BD .M .N .P .Q 分别为线段AB .BC .CD .DA 上的点.四边形MNPQ 是以PN .QM 为腰的梯形. 试证明三直线BD .MQ .NP 共点. 证明:∵ 四边形MNPQ 是梯形.且MQ .NP 是腰. ∴直线MQ .NP 必相交于某一点O . ∵ O 直线MQ ,直线MQ 平面ABD . ∴ O 平面ABD. 同理.O 平面BCD .又两平面ABD .BCD 的交线为BD . 故由公理二知.O 直线BD .从而三直线BD .MQ .NP 共点. 点评:由已知条件.直线MQ .NP 必相交于一点O .因此.问题转化为求证点O 在直线BD 上.由公理二.就是要寻找两个平面.使直线BD 是这两个平面的交线.同时点O 是这两个平面的公共点即可．“三点共线 及“三线共点 的问题都可以转化为证明“点在直线上 的问题. (2)如图所示.在四边形ABCD中.已知AB∥CD.直线AB.BC.AD.DC分别与平面α相交于点E.G.H.F．求证:E.F.G.H四点必定共线. 证明:∵AB∥CD. ∴AB.CD确定一个平面β． 又∵ABα＝E.ABβ.∴E∈α.E∈β. 即E为平面α与β的一个公共点. 同理可证F.G.H均为平面α与β的公共点． ∵两个平面有公共点.它们有且只有一条通过公共点的公共直线. ∴E.F.G.H四点必定共线. 点评:在立体几何的问题中.证明若干点共线时.常运用公理2.即先证明这些点都是某二平面的公共点.而后得出这些点都在二平面的交线上的结论. 例2．已知:a.b.c.d是不共点且两两相交的四条直线.求证:a.b.c.d共面. 证明:1o若当四条直线中有三条相交于一点.不妨设a.b.c相交于一点A. 但AÏd.如图1所示: ∴直线d和A确定一个平面α. 又设直线d与a.b.c分别相交于E.F.G. 则A.E.F.G∈α. ∵A.E∈α.A.E∈a.∴aα. 同理可证bα.cα. ∴a.b.c.d在同一平面α内. 2o当四条直线中任何三条都不共点时. 如图2所示: ∵这四条直线两两相交.则设相交直线a.b确定一个平面α. 设直线c与a.b分别交于点H.K.则H.K∈α. 又 H.K∈c.∴c,则cα. 同理可证dα. ∴a.b.c.d四条直线在同一平面α内． 点评:证明若干条线共面的一般步骤是:首先根据公理3或推论.由题给条件中的部分线确定一个平面.然后再根据公理1证明其余的线均在这个平面内.本题最容易忽视“三线共点 这一种情况.因此.在分析题意时.应仔细推敲问题中每一句话的含义. 题型2:异面直线的判定与应用 例3．已知:如图所示.a b ＝a .b b .a b ＝A .c a .c ∥a .求证直线b .c 为异面直线. 证法一:假设b .c 共面于g ．由A a .a ∥c 知.A c .而a b ＝A.a b ＝a . ∴ A g .A a. 又c a .∴ g .a 都经过直线c 及其外的一点A. ∴ g 与a 重合.于是a g .又b b. 又g .b 都经过两相交直线a .b .从而g .b 重合. ∴ a .b .g 为同一平面.这与a b ＝a 矛盾. ∴ b .c 为异面直线． 证法二:假设b .c 共面.则b .c 相交或平行. (1)若b ∥c .又a ∥c .则由公理4知a ∥b .这与a b ＝A 矛盾. (2)若b c ＝P .已知b b .c a .则P 是a .b 的公共点.由公理2.P a .又b c ＝P .即P c .故a c ＝P .这与a ∥c 矛盾. 综合可知.b .c 为异面直线. 证法三:∵ a b ＝a .a b ＝A .∴ A a . ∵ a ∥c .∴ A c . 在直线b 上任取一点P(P 异于A).则P a(否则b a .又a a .则a .b 都经过两相交直线a .b .则a .b 重合.与a b ＝a 矛盾). 又c a .于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线.和平面内不经过该点的直线是异面直线 知.b .c 为异面直线. 点评:证明两直线为异面直线的思路主要有两条:一是利用反证法,二是利用结论“过平面外一点与平面内一点的直线.和平面内不经过该点的直线是异面直线．.异面直线又有两条途径:其一是直接假设b .c 共面而产生矛盾,其二是假设b .c 平行与相交,分别产生矛盾.判定直线异面.若为解答题.则用得最多的是证法一.二的思路,若为选择或填空题.则往往都是用证法三的思路.用反证法证题.一般可归纳为四个步骤:进行推理,肯定结论． 宜用反证法证明的命题往往是(1)基本定理或某一知识系统的初始阶段的命题(如立体几何中的线面.面面平行的判定定量的证明等),(2)肯定或否定型的命题(如结论中出现“必有 .“必不存在 等一类命题),(3)唯一型的命题(如“图形唯一 .“方程解唯一 等一类命题),(4)正面情况较为繁多.而结论的反面却只有一两种情况的一类命题,(5)结论中出现“至多 .“不多于 等一类命题. 例4．(1)已知异面直线a,b所成的角为70.则过空间一定点O.与两条异面直线a,b都成60角的直线有( )条 A．1 B．2 C．3 D．4 (2)异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O.过点O有3条直线与a,b所成角都是60.则的取值可能是( ) A．30 B．50 C．60 D．90 解析:(1)过空间一点O分别作∥a,∥b. 将两对对顶角的平分线绕O点分别在竖直平面内转动.总能得到与 都成60角的直线.故过点 O与a,b都成60角的直线有4条.从而选D. (2)过点O分别作∥a.∥b.则过点O有三条直线与a,b所成角都为60.等价于过点O有三条直线与所成角都为60.其中一条正是角的平分线.从而可得选项为C. 点评:该题以学生对异面直线所成的角会适当转化.较好的考察了空间想象能力. 题型3:线线平行的判定与性质 例5．关于直线a.b.l及平面M.N.下列命题中正确的是( ) A．若a∥M.b∥M.则a∥b B．若a∥M.b⊥a.则b⊥M C．若aM.bM.且l⊥a.l⊥b.则l⊥M D．若a⊥M.a∥N.则M⊥N 解析:解析:A选项中.若a∥M.b∥M.则有a∥b或a与b相交或a与b异面.B选项中.b可能在M内.b可能与M平行.b可能与M相交.C选项中须增加a与b相交.则l⊥M.D选项证明如下:∵a∥N.过a作平面α与N交于c.则c∥a.∴c⊥M.故M⊥N.答案D. 点评:本题考查直线与直线.直线与平面.平面与平面的基本性质. 例6．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB.M∈AC.N∈FB.且AM=FN.求证:MN∥平面BCE. 证法一:作MP⊥BC.NQ⊥BE.P.Q为垂足.则MP∥AB.NQ∥AB. ∴MP∥NQ.又AM=NF.AC=BF. ∴MC=NB.∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ ∴MP=NQ.故四边形MPQN为平行四边形 ∴MN∥PQ ∵PQ平面BCE.MN在平面BCE外. ∴MN∥平面BCE. 证法二:如图过M作MH⊥AB于H.则MH∥BC. ∴ 连结NH.由BF=AC.FN=AM.得 ∴ NH//AF//BE 由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE ∴MN∥平面BCE. 题型4:线面平行的判定与性质 例7．如图.在长方体中.分别是的中点.分别是的中点..求证:面. 证明:取的中点.连结, ∵分别为的中点 ∵ ∴面.面 ∴面面 ∴面 点评:主要考察长方体的概念.直线和平面.平面和平面的关系等基础知识.主要考察线面平行的判定定理. 例8．如图所示.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1.点E在棱D1D上.截面EAC∥D1B.且面EAC与底面ABCD所成的角为45°.AB＝a. (Ⅰ)求截面EAC的面积, (Ⅱ)求异面直线A1B1与AC之间的距离, 解:(Ⅰ)如图所示.连结DB交AC于O.连结EO. ∵底面ABCD是正方形. ∴DO⊥AC 又∵ED⊥底面AC. ∴EO⊥AC ∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角. ∴∠EOD＝45° DO＝a.AC＝a.EO＝a·sec45°＝a. 故S△EAC=EO·AC＝a2． (Ⅱ)由题设ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱.得A1A⊥底面AC.A1A⊥AC． 又A1A⊥A1B1. ∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线. ∵D1B∥面EAC.且面D1BD与面EAC交线为EO. ∴D1B∥EO. 又O是DB的中点 ∴E是D1D的中点.D1B＝2EO＝2a. ∴D1D＝a 异面直线A1B1与AC间的距离为a. 题型5:面面平行的判定与性质 例9．如图.正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为a.证明:平面ACD1 ∥平面A1C1B . 证明:如图.∵ A1BCD1 是矩形.A1B ∥D1C . 又D1C 平面D1CA .A1B 平面D1CA . ∴ A1B ∥平面D1CA. 同理A1C1 ∥平面D1CA .又A1C1 A1B ＝A1 .∴ 平面D1CA ∥平面BA1C1 ． 点评:证明面面平行.关键在于证明A1C1 与A1B 两相交直线分别与平面ACD1 平行. 例10．P是△ABC所在平面外一点.A′.B′.C′分别是△PBC.△PCA.△PAB的重心. (1)求证:平面A′B′C′∥平面ABC, (2)S△A′B′C′∶S△ABC的值. 解析:(1)取AB.BC的中点M.N. 则 ∴A′C′∥MN?A′C′∥平面ABC. 同理A′B′∥面ABC. ∴△A′B′C′∥面ABC. (2)A′C′=MN=·AC=AC . 同理 ∴ 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    给出下列命题：
    ①如果向量
    a
    ，
    b
    ，
    c
    共面，向量
    b
    ，
    c
    ，
    d
    也共面，则向量
    a
    ，
    b
    ，
    c
    ，
    d
    共面；
    ②已知直线a的方向向量
    a
    与平面α，若
    a
    ∥平面α，则直线a∥平面α；
    ③若P、M、A、B共面，则存在唯一实数x、y使
    MP
    =x
    MA
    +y
    MB
    ；
    ④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若
    OP
    =x
    OA
    +y
    OB
    +z
    OC
    （其中x+y+z=1），则P、A、B、C四点共面； 在这四个命题中为真命题的序号有
     
    ．

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    已知点A、O、B为平面内不共线的三点，若Ai（i=1，2，3，…，n）是该平面内的任一点，且有
    OAi
    •
    OB
    =
    OA
    •
    OB
    ，则点Ai（i=1，2，3，…，n）在（　　）
    A、过A点的抛物线上
    B、过A点的直线上
    C、过A点的圆心的圆上
    D、过A点的椭圆上

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    已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，给出下列命题：
    ①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；
    ②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；
    ③若n，m为异面直线n?α，n∥β，m?β，m∥α，则α∥β．其中正确命题的个数是（　　）

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    已知O，A，B是同一平面内不共线的三点，且
    OM
    =λ
    OA
    +μ
    OB
    ，则下列命题正确的是
    ①②③④⑤
    ①②③④⑤
    ．（写出所有正确命题的编号）
    ①若λ=
    1
    2
    ，μ=
    1
    2
    ，则点M是线段AB的中点；
    ②若λ=-1，μ=2，则M，A，B三点共线；
    ③若λ=
    1
    |
    OA
    |
    ，μ=
    1
    |
    OB
    |
    ，则点M在∠AOB的平分线上；
    ④若λ=
    1
    3
    ，μ=
    1
    3
    ，则点M是△OAB的重心；
    ⑤若点M在△OAB外，则λ＜0或μ＜0或
    λ＞
    1
    2
    μ＞
    1
    2
    ．

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    7、对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．其中，可以判定α与β平行的条件有（　　）

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