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    题型1:异面直线所成的角 例1．(1)直三棱住A1B1C1-ABC.∠BCA=.点D1.F1 分别是A1B1.A1C1的中点.BC=CA=CC1.则BD1与AF1所成角的余弦值是( ) (A ) (B) (C) (D) 已知二面角的大小为.为异面直线.且.则所成的角为( ) (A) (B) (C) (D) 解析:(1)连结D1F1.则D1F1. ∵BC ∴D1F1 设点E为BC中点.∴D1F1BE.∴BD1∥EF1.∴∠EF1A或其补角即为BD1与AF1所成的角.由余弦定理可求得.故选A. (2)二面角的大小为.为异面直线.且.则所成的角为两条直线所成的角.∴ θ=.选B. 点评:通过平移将异面直线的夹角转化为平面内的两条相交直线的夹角. 例2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.点E为棱AB的中点. 求:D1E与平面BC1D所成角的大小 解析:建立坐标系如图. 则... ..... ... 不难证明为平面BC1D的法向量. ∵ . ∴ D1E与平面BC1D所成的角的余弦值为. 点评:将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角. 题型2:直线与平面所成的角 例3．PA.PB.PC是从P点出发的三条射线.每两条射线的夹角均为.那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 解:构造正方体如图所示.过点C作CO⊥平面PAB.垂足为O.则O为正ΔABP的中心.于是∠CPO为PC与平面PAB所成的角.设PC=a.则PO=.故.即选C. 思维点拨:第(2)题也可利用公式直接求得. 例2．如图.直三棱柱ABC-A1B1C1中.底面是等腰直角三角形.∠ACB＝90°.侧棱AA1＝2.D.E分别是CC1与A1B的中点.点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.求A1B与平面ABD所成角的大小, 解析:如图所示.建立坐标系.坐标原点为C.设CA＝2a.则A(2a.0.0).B(0.2a.0).D.A1(2a.0.2).E(a.a.1). G() . ∵ . . . ∴ a＝1.. ∵ 为平面ABD的法向量.且. ∴ A1B与平面ABD所成角的余弦值是. 点评:先处理平面的法向量.再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角. 题型3:二面角 例5．在四棱锥P-ABCD中.ABCD为正方形.PA⊥平面ABCD.PA＝AB＝a.E为BC中点. (1)求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小, (2)求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小. 解析:(1)延长AB.DE交于点F.则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱.∵PA⊥平面ABCD.∴AD⊥PA.AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A. 过A作AO⊥PF于O.连结OD.则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角.易得.故平面PDE与平PAD所成二面角的正切值为, 如图∵AD⊥PA.AB, PA∩AB=A. ∴DA⊥平面BPA于A, 同时.BC⊥平面BPA于B. ∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影, 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ, cosθ=S△PAB/S△PCD=/2 θ=450. 即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°. 解法2 如图:将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN.则PQ⊥PA.PD.于是∠APD是两面所成二面角的平面角. 在Rt△PAD中.PA=AD.则∠APD=45°.即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°. 例6．(1)如图6.正三棱柱的底面边长为3.侧棱.D是CB延长线上一点.且.求二面角的大小. 已知球的半径是1...三点都在球面上..两点和.两点的球面距离都是..两点的球面距离是.则二面角的大小是( ) (A) (B) (C) (D) 解析:(1)取BC的中点O.连AO. 由题意:平面平面..∴平面. 以O为原点.建立如图6所示空间直角坐标系. 则 .... ∴ . . . 由题意 平面ABD. ∴ 为平面ABD的法向量. 设 平面的法向量为 . 则. ∴ . ∴ . 即 .∴ 不妨设 . 由. 得. 故所求二面角的大小为. 评析:(1)用法向量的方法处理二面角的问题时.将传统求二面角问题时的三步曲:“找--证--求 直接简化成了一步曲:“计算 .这表面似乎谈化了学生的空间想象能力.但实质不然.向量法对学生的空间想象能力要求更高.也更加注重对学生创新能力的培养.体现了教育改革的精神, (2)此法在处理二面角问题时.可能会遇到二面角的具体大小问题.如本题中若取时.会算得.从而所求二面角为.但依题意只为.因为二面角的大小有时为锐角.直角.有时也为钝角.所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小.然后根据计算取“相等角 或取“补角 . (2)解析:球的半径是R=.三点都在球面上.两点和两点的球面距离都是.则∠AOB.∠AOC都等于.AB=AC.两点的球面距离是.∠BOC=.BC=1.过B做BD⊥AO.垂足为D.连接CD.则CD⊥AD.则∠BDC是二面角的平面角.BD=CD=.∴∠BDC=.二面角的大小是.选C. 题型4:异面直线间的距离 例7．如图.已知正方体ABCD-棱长为. 求异面直线BD与C的距离． 解法一:连结AC交BD的中点O.取的中点M.连结BM交于E.连.则.过E作EF／／OM交OB于F.则. 又斜线的射影为AC.BDAC.. 同理.为BD与的公垂线.由于M为的中点.∽.. .EF／／OM..故OB＝.． 解法二． 因为BD／／平面.平面.故BD与的距离就是BD到平面的距离. 由.即.得． 解法三．易证平面／／平面.用等体积法易得A到平面的距离为. 同理可知:到平面的距离为.而.故两平面间距离为． 解法四．如图.BD／／平面..平面.平面平面＝..故O到平面的距离为斜边上的高. 解法五.如图.在上取一点M.作MEBC于E.过E作ENBD交BD于N.易知MN为BD与的公垂线时.MN最小. 设BE=.CE=ME=.EN=. MN====. 当时.时.. 例8．如图2.正四棱锥的高.底边长.求异面直线和之间的距离? 分析:建立如图所示的直角坐标系.则 . . .. . .. 令向量.且. 则... .. 异面直线和之间的距离为: . 题型5:点面距离 例9．如图.已知ABCD为边长是4的正方形.E.F分别是AB.AD的中点.GC垂直于ABCD所在的平面.且GC＝2.求点B到平面EFG的距离. 解法一:连结BF.BG.. 又E.F分别是AB.AD的中点. . .. . ． 解法二．E.F分别是AB.AD的中点.EF／／BD.B到平面GEF的距离为BD上任一点到平面GEF的距离.BDAC于O.EF／／BD. 又GC平面ABCD.EF平面ABCD.EFGC.EF平面GEF.平面GEF平面GCH.过O点作HG.则平面GEF.为O到平面GCH的距离.即B到平面GEF的距离. 由解法一知:.由∽得 . 思维点拔:注意点距.线面距.面面距的转化.利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法. 例10．多面体上.位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图.正方体的一个顶点A在平面内.其余顶点在的同侧.正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1.2和4.P是正方体的其余四个顶点中的一个.则P到平面的距离可能是: (写出所有正确结论的编号) ①3, ②4, ③5, ④6, ⑤7 (2)平行四边形的一个顶点A在平面内.其余顶点在的同侧.已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2 .那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是:①1, ②2, ③3, ④4, 以上结论正确的为 .(写出所有正确结论的编号) 解析:(1)如图.B.D.A1到平面的距离分别为1.2.4.则D.A1的中点到平面的距离为3.所以D1到平面的距离为6,B.A1的中点到平面的距离为.所以B1到平面的距离为5,则D.B的中点到平面的距离为.所以C到平面的距离为3,C.A1的中点到平面的距离为.所以C1到平面的距离为7,而P为C.C1.B1.D1中的一点.所以选①③④⑤. (2)如图.B.D到平面的距离为1.2.则D.B的中点到平面的距离为.所以C到平面的距离为3, B.C到平面的距离为1.2.D到平面的距离为.则.即.所以D到平面的距离为1, C.D到平面的距离为1.2.同理可得B到平面的距离为1,所以选①③. 题型6:线面距离 例11．已知正三棱柱的底面边长为8.对角线.D是AC的中点.(1)求点到直线AC的距离.(2)求直线到平面的距离. 解析:(1)连结BD..由三垂线定理可得: .所以就是点到直线AC的距离. 在中． . (2)因为AC与平面BD交于AC的中点D.设.则//DE.所以//平面.所以到平面BD的距离等于A点到平面BD的距离.等于C点到平面BD的距离.也就等于三棱锥的高. ..所以.直线到平面BD的距离是. 思维点拔:求空间距离多用转化的思想. 例12．如图7.已知边长为的正三角形中..分别为和的中点.面.且.设平面过且与平行. 求与平面间的距离? 分析:设..的单位向量分别为...选取{..}作为空间向量的一组基底. 易知. ===. 设是平面的一个法向量.则 . .即. 直线与平面间的距离= 【查看更多】

     

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    试题大类：高考真题；题型：解答题；学期：2008年；单元：2008年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（重庆卷）；知识点：空间直线和平面；难度：较难；其它备注：20主观题；分值：12$如图,α和β为平面,α∩β=l,A∈α,B∈β,AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′,B′,AA′=3,BB′=2.若二面角α-l-β的大小为,求:

    (1)点B到平面α的距离;

    (2)异面直线l与AB所成的角(用反三角函数表示).

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