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    题型1:线性相关性检验 例1．一个工厂在某年里每月产品的总成本y与该月产量x之间由如下一组数据: x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 1)画出散点图,2)检验相关系数r的显著性水平,3)求月总成本y与月产量x之间的回归直线方程. 解析: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xi 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 yi 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 xiyi 2.43 2.264 2.856 3.264 3.590 4.07 4.643 5.090 5.652 6.096 6.653 7.245 =.==2.8475.=29.808.=99.2081.=54.243 1)画出散点图: 2) r= = 在“相关系数检验的临界值表 查出与显著性水平0.05及自由度12-2=10相应的相关数临界值r0.05=0.576<0.997891, 这说明每月产品的总成本y与该月产量x之间存在线性相关关系. 3)设回归直线方程. 利用 . 计算a.b.得b≈1.215, a=≈0.974. ∴回归直线方程为: 例2．在7块并排.形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验.得数据如下 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455 1)画出散点图,2)检验相关系数r的显著性水平,3)求月总成本y与月产量x之间的回归直线方程. 解析:1)画出散点图如下: 2)检验相关系数r的显著性水平: i 1 2 3 4 5 6 7 xi 15 20 25 30 35 40 45 yi 330 345 365 405 445 450 455 xiyi 4950 6950 9125 12150 15575 18000 20475 =30,=399.3,=7000,=1132725,=87175 r==≈0.9733.在“相关系数检验的临界值表 查出与显著性水平0.05及自由度7-2=5相应的相关数临界值r0.05=0.754＜0.9733.这说明水稻产量与施化肥量之间存在线性相关关系. 3)设回归直线方程.利用 计算a.b. 得b= a=399.3-4.75×30≈257.则回归直线方程 题型2:独立性检验 例3．为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关.调查了339名50岁以上的人.调查结果如下表所示: 患慢性气管炎 未患慢性气管炎 合计 吸烟 43 162 205 不吸烟 13 121 134 合计 56 283 339 试问:50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗? 解析:由公式.因为7.469>6.635,所以我们有99%的把握说:50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关. 例4．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究.调查他们是否又发作过心脏病.调查结果如下表所示: 又发作过心脏病 未发作过心脏病 合计 心脏搭桥手术 39 157 196 血管清障手术 29 167 196 合计 68 324 392 试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别. 解析:由公式.因为1.78>3.841.所以我们没有理由说“心脏搭桥手术 与“又发作过心脏病 有关.可以认为病人又发作与否与其做过任何手术无关. 题型3:独立的概念及应用 例5．有三种产品,合格率分别是0.90,0.95和0.95.各抽取一件进行检验. (1)求恰有一件不合格的概率, (2)求至少有两件不合格的概率, 解析:设三种产品各抽取一件.抽到合格产品的事件分别为A.B和C. =0.95.则P()=0.10,P()=P()=0.05. 因为事件A.B.C相互独立.恰有一件不合格的概率为: P(A·B·)+P(A··C)+P(·B·C) =P·P()+P(A)·P()·P(C)+P()·P =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95≈0.176 答:恰有一件不合格的概率为0.176. (2)解法一:至少有两件不合格的概率为: P(A··)+P(·B·)+P(··C)+P(··) =0.90×0.05×0.05+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.05×0.05≈0.012. 答:至少有两件不合格的概率为0.012. 解法二:三件产品都合格的概率为: P·P(C)=0.90×0.95×0.95≈0.812. 由(1)知.恰有一件不合格的概率为0.176.所以.至少有两件不合格的概率为1-[P+0.176]=1-=0.012. 答:至少有两件不合格的概率为0.012. 点评:本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件概率的计算及运用数学知识解决问题的能力. 例6．某公司招聘员工.指定三门考试课程.有两种考试方案. 方案一:考试三门课程.至少有两门及格为考试通过, 方案二:在三门课程中.随机选取两门.这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是.且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率, (Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小. 解析:设三门考试课程考试通过的事件分别为A.B.C.相应的概率为a.b.c (1)考试三门课程.至少有两门及格的事件可表示为AB+AC+BC+ABC.设其概率为P1.则P1＝abbc+abc＝ab+ac+bc-2abc 设在三门课程中.随机选取两门.这两门都及格的概率为P2.则P2＝ab+ac+bc (2)P1-P2＝-(ab+ac+bc)＝ab+ac+bc-2abc＝＝+bc>0 \P1>P2即用方案一的概率大于用方案二的概率. 点评:“至少.至多 问题的处理方式是分类到底.利用独立.互斥或对立事件进行转化. 题型4:随机变量的分布列 例7．．某运动员射击一次所得环数的分布如下: 6 7 8 9 10 0 现进行两次射击.以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩.记为. (I)求该运动员两次都命中7环的概率 (II)求的分布列 解析:(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为, (Ⅱ)的可能取值为7.8.9.10 , . . . 分布列为: 7 8 9 10 P 0.04 0.21 0.39 0.36 (Ⅲ) 的数学希望为. 点评:分布列不仅明确给出了()的概率.而且对任事件()发生的概率均可由分布列算出: . 例8．设自动生产线在调整后出现废品的概率为0.1.而且一旦出现废品就要重新调整.求在两次调整之间所生产的合格品的数目不小于5的概率. 分析:如果用随机变量η表示两次调整之间生产的产品的个数.而且我们知道一旦出现废品就重新调整生产线.所以两次调整之间所生产的合格品是连续出现的.那么随机变量η的取值就服从几何分布.我们在解题时应先求出η的分布列.然后再计算事件“合格品数不小于5 即{η>5}的概率. 解析:设随机变量η表示两次调整之间生产线所生产的产品的个数.则η服从几何分布.事件{η＝k}就表示生产了k-1件合格品.且第k件产品是废品.容易求得: P＝0.1. P×0.1＝0.09. 写成分布列的形式为: 1 2 3 4 5 6 - P 0.1 0.09 0.81 0.0729 0.06561 0.059049 - 题目中要求计算“所生产的合格品数不小于5 的概率.即P.因为事件{η>5}所包含的基本事件为{η＝6}.{η＝7}.-.{η＝n}.-.所以有 P+P+- 我们应用分布列的性质计算上式的值．因为P.所以 P＝1-［P+P+P］ ＝1-(0.1+0.09+0.081+0.0729+0.06561)＝0.49049. 所以事件“两次调整之间所生产的合格品数不小于5 的概率为0.49049 点评:这是一道综合例题.包括了分列的计算及分布列的应用两个步骤.该题对于我们巩固所学知识.深入了解分布列有很大帮助. 题型5:随机变量的均值 例9．一个均匀小正方体的六个面中.三个面上标以数0.两个面上标以数1,一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次, 则向上的数之积的数学期望是 , 利用下列盈利表中的数据进行决策.应选择的方案是 . 解析:(1)一个均匀小正方体的6个面中.三个面上标以数0.两个面上标以数1.一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次.向上的数之积可能为ξ=0.1.2.4. 则. . . . ∴ . 点评:掌握离散性随机变量均值的计算方法.以及计算的先后顺序. (2)答案:A3 解析:A1的数学期望:=0.25×50+0.30×65+0.45×26=43.7 A2的数学期望:=0.25×70+0.30×26+0.45×16=32.5 A3的数学期望:=0.25×(-20)+0.30×52+0.45×78=45.7 A4的数学期望:=0.25×98+0.30×82+0.45×(-10)=44.6 点评:本题考查概率与数学期望.考查学生识表的能力.对图表的识别能力.是近年高考突出考查的热点.图表语言与其数学语言的相互转换.应成为数学学习的一个重点.应引起高度重视. 例10．设离散型随机变量可能取的值为1.2.3.4.(1.2.3.4).又的数学期望.则 ; 解析:设离散性随机变量可能取的值为.所以.即. 又的数学期望.则.即.,∴ . 点评:均值计算时要根据公式进行简化计算.从而达到简化运算的目的. 题型6:随机变量的方差 例11．甲.乙两名工人加工同一种零件.两人每天加工的零件数相等.所得次品数分别为ε.η.ε和η的分布列如下: ε 0 1 2 η 0 1 2 P P 试对这两名工人的技术水平进行比较. 分析:一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值.即期望,二是要看出次品数的波动情况.即方差值的大小. 解析:工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为: . , 工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为: . , 由Eε=Eη知.两人出次品的平均数相同.技术水平相当.但Dε>Dη.可见乙的技术比较稳定. 点评:期望仅体现了随机变量取值的平均大小.但有时仅知道均值的大小还不够.如果两个随机变量的均值相等.还要看随机变量的取值如何在均值周围变化.即计算方差.方差大说明随机变量取值较分散.方差小说明取值分散性小或者取值比较集中.稳定. 题型7:正态分布 例12．在某校举行的数学竞赛中.全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布.已知成绩在90分以上的学生有12名. (Ⅰ).试问此次参赛学生总数约为多少人? (Ⅱ).若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生.试问设奖的分数线约为多少分? 可共查阅的标准正态分布表 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 解析:(Ⅰ)设参赛学生的分数为.因为-N.由条件知. P(≥90)＝1-P(<90)＝1-F(90)＝1-＝1-(2)＝1-0.9772＝0.228. 这说明成绩在90分以上的学生人数约占全体参赛人数的2.28%.因此. 参赛总人数约为≈526(人). (Ⅱ)假定设奖的分数线为x分.则P(≥x)＝1-P(<x)＝1-F(90)＝1-＝＝0.0951.即＝0.9049.查表得≈1.31.解得x＝83.1. 故设奖得分数线约为83.1分. 点评:本小题主要考查正态分布.对独立事件的概念和标准正态分布的查阅.考查运用概率统计知识解决实际问题的能力. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    下表是关于某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y （万元）的几组统计数据：
    x 2 3 4 5 6
    y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
    （1）请在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；
    （2）请根据散点图，判断y与x之间是否有较强线性相关性，若有求线性回归直线方程
    y
    =
    b
    x+
    a
    ；
    （3）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？

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    下列四个命题正确的是
    （2）
    （2）

    （1）线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱
    （2）残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
    （3）用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模拟效果越好
    （4）实数a，b满足(
    1
    2
    )a=(
    1
    3
    )b    ，则有a=b或0＜b＜a．

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    有5组（x，y）数据如下表：
    x 1 2 3 4 10
    y 2 4 10 8 12
    去掉其中一组后，剩下的4组数据的线性相关性最强，则应去掉的一组数据所对应的点是（　　）

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    在测量一根新弹簧的劲度系数时，测得了如下的结果：
    所挂重量（N）（x） 1 2 3 5 7 9
    弹簧长度（cm）（y） 11 12 12 13 14 16
    （1）请画出上表所给数据的散点图；
    （2）弹簧长度与所挂重量之间的关系是否具有线性相关性，若具有请根据上表提供的数据，
    求出y关于x的线性回归方程
    ?
    y
    =bx+a；
    （3）根据回归方程，求挂重量为8N的物体时弹簧的长度．所求得的长度是弹簧的实际长度吗？为什么？
    注：本题中的计算结果保留小数点后一位．
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    下列结论正确的个数是（　　）
    ①线性回归直线方程必经过点(
    .
    x
    ，
    .
    y
    )    ；
    ②若随机变量X～B(8，
    3
    5
    )    ，则D(X)=
    48
    25
    ；
    ③线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；
    ④“可导函数f（x）在区间（a，b）上是增函数”是“f'（x）＞0对x∈（a，b）恒成立”的充要条件．

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