点P到x轴的距离比它到点（0，1）的距离小1，称点P的轨迹为曲线C，点M为直线l：y=-m （m＞0）上任意一点，过点M作曲线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）当M的坐标为（0，-l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
（3）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由．

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，请你根据这一发现，求：
（1）函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

对称中心为；
（2）计算f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+f(

4

2011

)+…+f(

2010

2011

)=．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段B₁C₁和AC上，B₁E=3EC₁，AC=BC=CC₁=4
（1）求证：BC⊥AC₁；
（2）试探究满足EF∥平面A₁ABB₁的点F的位置，并给出证明．

已知函数f(x)=

ax+b

x2+1

图象在x=1处的切线方程为2y-1=0．
（Ⅰ） 求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若△ABC的三个顶点（B在A、C之间）在曲线y=f（x）+ln（x-1）（x＞1）上，试探究f(2sin2A+sin2C)与f(2sin2B)的大小关系，并说明理由．

（2013•汕尾二模）已知F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为平面内的两个定点，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，记点P的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）判断原点O关于直线x+y-1=0的对称点R是否在曲线Γ包围的范围内？说明理由．
（注：点在曲线Γ包围的范围内是指点在曲线Γ上或点在曲线Γ包围的封闭图形的内部）
（Ⅲ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线Γ上的不同三点，且

OA

+

OB

+

OC

=

0

．试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论．