函数的定义域:使函数式　　　　　　的自变量x的取值范围.

已知函数f（x）=

1

2

x2+lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求证：在区间（1，+∞）上函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x3图象的下方；
（Ⅲ）请你构造函数h（x），使函数F（x）=f（x）+h（x）在定义域（0，+∞）上，存在两个极值点，并证明你的结论．

某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=25

3

米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示．
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．