已知过椭圆C：+=1（a＞b＞0）右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点；又函数y=asinx+3bcosx图象的一条对称轴的方程是．（1）求椭圆C的离心率e与直线AB的方程；（2）对于任意一点M∈C，试证：总存在角θ（θ∈R）使等式+sinθ成立．

已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，离心率e=

2

2

该椭圆C与直线l：y=

2

x在第一象限交于F点，且直线l被椭圆C截得的弦长为2

3

，过F作倾斜角互补的两直线FM，FN分别与椭圆C交于M，N两点（F与M，N均不重合）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：直线MN的斜率为定值；
（Ⅲ）求三角形FMN面积的最大值．

已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=

a2

c

（a为长半轴，c为半焦距）上．
（1）求椭圆的标准方程
（2）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．