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    4．函数定义域为.当时. 令.解得.∴. 又.∴ 说明:对于闭区间上的连续函数.如果在相应开区间内可导.求上最值可简化过程.即直接将极值点与端点的函数值比较.即可判定最大的函数值.就是最大值．解决这类问题.运算欠准确是普遍存在的一个突出问题.反映出运算能力上的差距．运算的准确要依靠运算方法的合理与简捷.需要有效的检验手段.只有全方位的“综合治理 才能在坚实的基础上形成运算能力.解决运算不准确的弊病． 求两变量乘积的最大值 例 已知为正实数.且满足关系式.求的最大值． 分析:题中有两个变量x和y.首先应选择一个主要变量.将表示为某一变量(x或y或其它变量)的函数关系.实现问题的转化.同时根据题设条件确定变量的取值范围.再利用导数求函数的最大值． 解:解法一:. ∴． 由解得． 设 当时. ． 令.得或(舍)． ∴.又.∴函数的最大值为． 即的最大值为． 解法二:由得. 设. ∴.设. 则 令.得或． .此时 ∴ 即当时. 说明:进行一题多解训练.是一种打开思路.激发思维.巩固基础.沟通联系的重要途径.但要明确解决问题的策略.指向和思考方法.需要抓住问题的本质.领悟真谛.巧施转化.方可快捷地与熟悉的问题接轨.在实现转化的过程中.关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件.以免解题陷于困境.功亏一篑． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分14分）

    已知函数对于任意（），都有式子成立（其中为常数）．

    （Ⅰ）求函数的解析式；

    （Ⅱ）利用函数构造一个数列，方法如下：

    对于给定的定义域中的，令，，…，，…

    在上述构造过程中，如果（=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果不在定义域中，那么构造数列的过程就停止.

    （ⅰ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求的取值范围；

    （ⅱ）是否存在一个实数，使得取定义域中的任一值作为，都可用上述方法构造出一个无穷数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

    （ⅲ）当时，若，求数列的通项公式．

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    （本小题满分14分）
    已知函数对于任意（），都有式子成立（其中为常数）．
    （Ⅰ）求函数的解析式；
    （Ⅱ）利用函数构造一个数列，方法如下：
    对于给定的定义域中的，令，，…，，…
    在上述构造过程中，如果（=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果不在定义域中，那么构造数列的过程就停止.
    （ⅰ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求的取值范围；
    （ⅱ）是否存在一个实数，使得取定义域中的任一值作为，都可用上述方法构造出一个无穷数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
    （ⅲ）当时，若，求数列的通项公式．

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    已知函数y＝f(x)对于任意(k∈Z)，都有式子f(a－tanθ)＝cotθ－1成立(其中a为常数)．

    (Ⅰ)求函数y＝f(x)的解析式；

    (Ⅱ)利用函数y＝f(x)构造一个数列，方法如下：

    对于给定的定义域中的x1，令x2＝f(x1)，x3＝f(x2)，…，xn＝f(xn－1)，…在上述构造过程中，如果xi(i＝1，2，3，…)在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果xi不在定义域中，那么构造数列的过程就停止．

    (ⅰ)如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a的取值范围；

    (ⅱ)是否存在一个实数a，使得取定义域中的任一值作为x1，都可用上述方法构造出一个无穷数列{xn}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

    (ⅲ)当a＝1时，若x1＝－1，求数列{xn}的通项公式．

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    （2006•石景山区一模）已知函数y=f（x）对于任意θ≠
    kπ2
    （k∈Z），都有式子f（a-tanθ）=cotθ-1成立（其中a为常数）．
    （Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
    （Ⅱ）利用函数y=f（x）构造一个数列，方法如下：
    对于给定的定义域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…在上述构造过程中，如果xi（i=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果xi不在定义域中，那么构造数列的过程就停止．
    （ⅰ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a的取值范围；
    （ⅱ）是否存在一个实数a，使得取定义域中的任一值作为x1，都可用上述方法构造出一个无穷数列{xn}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
    （ⅲ）当a=1时，若x1=-1，求数列{xn}的通项公式．

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    已知函数的最小值为0，其中

    （Ⅰ）求的值；

    （Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；

    （Ⅲ）证明（）.

    【解析】(1)解： 的定义域为

    由，得

    当x变化时，，的变化情况如下表：

    x

    -

    0

    +

    极小值

    因此，在处取得最小值，故由题意，所以

    （2）解：当时，取，有，故时不合题意.当时，令，即

    令，得

    ①当时，，在上恒成立。因此在上单调递减.从而对于任意的，总有，即在上恒成立，故符合题意.

    ②当时，，对于，，故在上单调递增.因此当取时，，即不成立.

    故不合题意.

    综上，k的最小值为.

    （3）证明：当n=1时，不等式左边==右边，所以不等式成立.

    当时，

                          

                          

    在（2）中取，得 ，

    从而

    所以有

         

         

         

         

          

    综上，，

     

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