本节内容对于立体几何的应用.读者需自行复习.这里不再赘述. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

函数概念的发展历程

  17世纪,科学家们致力于运动的研究,如计算天体的位置,远距离航海中对经度和纬度的测量,炮弹的速度对于高度和射程的影响等.诸如此类的问题都需要探究两个变量之间的关系,并根据这种关系对事物的变化规律作出判断,如根据炮弹的速度推测它能达到的高度和射程.这正是函数产生和发展的背景.

  “function”一词最初由德国数学家莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646~1716)在1692年使用.在中国,清代数学家李善兰(1811~1882)在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代徽积拾级》中首次将“function”译做“函数”.

  莱布尼兹用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量,如坐标、切线等.1718年,他的学生,瑞士数学家约翰·伯努利(J.Bernoulli,1667~1748)强调函数要用公式表示.后来,数学家认为这不是判断函数的标准.只要一些变量变化,另一些变量随之变化就可以了.所以,1755年,瑞士数学家欧拉(L.Euler,1707~1783)将函数定义为“如果某些变量,以一种方式依赖于另一些变量,我们将前面的变量称为后面变量的函数”.

  当时很多数学家对于不用公式表示函数很不习惯,甚至抱怀疑态度.函数的概念仍然是比较模糊的.

  随着对微积分研究的深入,18世纪末19世纪初,人们对函数的认识向前推进了.德国数学家狄利克雷(P.G.L.Dirichlet,1805~1859)在1837年时提出:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,则y是x的函数”.这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则,使得取值范围中的每一个值,有一个确定的y和它对应就行了,不管这个法则是公式、图象、表格还是其他形式.19世纪70年代以后,随着集合概念的出现,函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述,这就是本节学习的函数概念.

  综上所述可知,函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关,而且随着研究的深入,函数概念不断得到严谨化、精确化的表达,这与我们学习函数的过程是一样的.

你能以函数概念的发展为背景,谈谈从初中到高中学习函数概念的体会吗?

1.探寻科学家发现问题的过程,对指导我们的学习有什么现实意义?

2.莱布尼兹、狄利克雷等科学家有哪些品质值得我们学习?

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在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截此几何体,则截面是三角形,那么这个几何体可能是__________.

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在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体,如果截面是三角形,那么这个几何体可能是____________.

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根据本节所学知识,怎样用两根细绳检查一张课桌的四条腿的下端是否在同一个平面内?

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从特殊到一般和从一般到特殊,这是人们正确认识客观事物的认识规律,也是处理数学问题的重要思想方法.从这一思想出发,我们知道两角和的正弦为:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,那么现在我们令α=β,在这种特殊情况下我们可以得到公式sin2α=2sinαcosα,同理其余几种三角函数也可以做类似的推理,本节我们就来研究一下有关倍角的公式.你能利用上述知识解决下面的问题吗?

已知sinα=,α∈(,π),求sin2α,cos2α,tan2α的值.

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同步练习册答案