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    由Sn求an.an={ 注意验证a1是否包含在后面an 的公式中.若不符合要单独列出.一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q,且b2+ S2=12，.（Ⅰ）求an 与bn；（Ⅱ）设数列{cn}满足，求{cn}的前n项和Tn.

    【解析】本试题主要是考查了等比数列的通项公式和求和的运用。第一问中，利用等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q,且b2+ S2=12，，可得，解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通项公式故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1.     第二问中，，由第一问中知道，然后利用裂项求和得到Tn.

    解： (Ⅰ) 设：{an}的公差为d,

    因为解得q=3或q=-4(舍),d=3.

    故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1.                       ………6分

    (Ⅱ)因为……………8分

     

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    在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn=
    1
    2
    (an+
    1
    an
    )
    （1）求a1，a2，a3；
    （2）由（1）结果猜想出数列{an}的通项公式（不用证明）；
    （3）求Sn．

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    设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，Sn）在函数f（x）=x2+x的图象上．
    （1）求an的表达式；
    （2）设An为数列{
    1(an-1)(an+1)
    }的前n项和，是否存在实数a    ，使得不等式An＜a对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
    （3）将数列{an}依次按1项，2项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4），（a5，a6），（a7），（a8，a9），（a10），
    …，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b100的值；
    （4）如果将数列{an}依次按1项，2项，3项，4项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，提出同（3）类似的问题（（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

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    可以证明，对任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面尝试推广该命题：
    （1）设由三项组成的数列a1，a2，a3每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有满足条件的数列；
    （2）设数列{an}每项均非零，且对任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，数列{an}的前n项和为Sn．求证：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
    （3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{an}，使得a2011=2009？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）； 若不存在，说明理由．

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    已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1=0，a2=3，an+1an=（an-1+2）（an-2+2），n=3，4，5，…，
    （1）求a3；
    （2）证明an=an-2+2，n=3，4，5，…；
    （3）求{an}的通项公式及其前n项和Sn．

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